Lanciare una moneta è un modo equo di randomizzare un gruppo in due gruppi?

Quindi io e mio zio stiamo discutendo sul fatto che il lancio di una moneta sia davvero casuale. Sostengo che non lo sia perché in termini reali un lanciatore di monete manipolerà sempre una moneta, quindi il risultato non è 50/50, quindi non è una buona scelta come tecnica di randomizzazione per l'assegnazione di gruppi negli studi clinici. Tuttavia sostiene che sono le piccole imperfezioni nel lancio della moneta a creare la casualità. Quindi ha postulato una macchina che sarebbe stata eternamente in grado di lanciare una moneta giusta e farla atterrare in testa e, ad essere sincero, ho solo bisogno di qualcuno che risolva questa discussione per me. Lanciare una moneta è un modo equo di randomizzare un gruppo in due gruppi?

Sì, il lancio della moneta è un processo veramente casuale. Mentre è possibile caricare un dado, in modo che favorisca determinati risultati, non è possibile scartare una moneta ( per ulteriori dettagli, vedere l' articolo di Andrew Gelman e Deborah Nolan pubblicato su The American Statistician ). Puoi sostenere che il lancio della moneta è un processo deterministico e infatti puoi costruire un modello matematico che descrive il processo, tuttavia il suo esito è casuale. Per saperne di più sulla fisica sulle lezioni di verifica del lancio della moneta di Santosh S. Venkatesh sul corso Probabilità su Coursera.org dove descrive in dettaglio le dinamiche del lancio della moneta e fornisce un argomento sul perché sia ​​davvero casuale (Tabella 7), puoi anche controllare L'articolo di Keller The Probability of Headse un breve articolo di Mahadevan e Hou Yong intitolato Probabilità, fisica e lancio della moneta ). Il processo deterministico come questo potrebbe essere casuale perché è un tipo di processo in cui piccoli cambiamenti nei parametri iniziali (velocità, velocità angolare ecc.) Fanno una grande differenza nel risultato, ciò che rende caotico il suo comportamento (controlla la lezione di P. Diaconis intitolato The Search for Randomness ).

Esperimenti reali hanno dimostrato che il lancio della moneta è giusto fino a due decimali e alcuni studi hanno dimostrato che potrebbe essere leggermente distorto (vedi Bias dinamici nel lancio delle monete di Diaconis, Holmes e Montgomery, carta Chance News o rendimento di lanci di 40.000 monete prove ambigue di distorsione dinamica da parte di D. Adolus). Diaconis et al. riprodurre un istogramma di uno di questi esperimenti in cui 103 studenti hanno lanciato monete ogni 100 volte (vedi sotto).

Si noti che nella vita reale le persone lanciano monete con diversa forza, a diversa altezza, iniziano con le monete che si trovano sulle loro mani con angoli diversi, catturarle in momenti diversi e in modo diverso, le condizioni atmosferiche differiscono ecc., Ciò fa variare i risultati effettivi tra lanci di monete e gettonieri come nella foto sopra.

Come hanno notato A. Donda e Glen_b , ci sono stati esempi di persone che hanno imparato a lanciare intenzionalmente le monete per ottenere determinati risultati e Diaconis et al. riuscì a costruire una gettoniera che poteva lanciare monete per un certo risultato.

Tutto ciò rende il lancio della moneta non affidabile? Washington Post cita uno degli autori di Diaconis et al. carta:

Ho chiesto a Holmes se i lanci di monete usati, diciamo, per il calcio, debbano essere eliminati perché sono di parte. La risposta è no, purché la persona che chiama il flip non sappia come inizierà la moneta. Nel calcio, il lanciatore non è mai il chiamante; il lanciatore dovrebbe essere un arbitro. Ma se sei sia il chiamante che il lanciatore, beh, questo cambia le cose. Conoscere il pregiudizio nei lanci di monete ti dà un vantaggio, anche se piccolo.

Anche i pregiudizi osservati negli esperimenti nella maggior parte dei casi non sono realmente maggiori di quello che ci aspetteremmo da estrazioni casuali dalla distribuzione binomiale (vedi diagramma sotto), variano tra esperimenti e monete utilizzate. Nella maggior parte dei casi cadono nella regione di densità binomiale con la densità più alta del 95% parametrizzata da e la dimensione del campione è uguale al numero totale di lanci di monete nel particolare esperimento (cioè ci aspetteremmo che i casi del 95% non siano più estremi di questo) . In due casi i risultati non rientrano nell'intervallo: in caso di lanci di Janet (descritti da D. Aldous ) e lanci degli studenti di Robin (come descritto in CHANCE News ). Tuttavia, è difficile confrontare gli esperimenti a causa delle differenze nella metodologia utilizzata (lanciatore singolo vs$p=0.5$lanciatori multipli, moneta singola vs monete multiple ecc.) e difetti metodologici (ad esempio nel caso di Robin, gli studenti stavano lanciando le monete fuori dalla classe, quindi non è stato monitorato con quanta cura seguissero le istruzioni).

Nella trama sopra vediamo proporzioni di teste in diversi esperimenti con la regione di densità più alta del 95%. I risultati sono raccolti dalla carta per lanciare, girare e inclinare in CHANCE News, Coin Tossing and Spinning - utili esperimenti in aula per le statistiche sull'insegnamento di Helmut Kuchenhoff e i risultati degli esperimenti di D. Aldous . Le dimensioni delle sfere riflettono le dimensioni del campione utilizzate negli esperimenti. Sull'asse vediamo il risultato (proporzione di teste) e sulla probabilità cumulativa dell'asse un risultato minore o uguale a quello osservato calcolato dalla distribuzione binomiale.$x$$y$

Si noti tuttavia che nella maggior parte dei casi nella vita reale non sono necessari valori realmente casuali, ma piuttosto si è interessati a numeri che si comportano come numeri casuali. Indipendentemente dal fatto che si stiano eseguendo statistiche o implementando un algoritmo crittografico per crittografare i dati, ciò che viene utilizzato a tali scopi sono generatori di numeri pseudocasuali , ovvero algoritmi deterministici che producono output difficilmente distinguibili da valori realmente casuali. Questo è sufficiente anche per algoritmi crittografici all'avanguardia.

Riassumendo, la ricerca in questo settore ha dato risultati contrastanti e ciò che si può dire con certezza è che ci sono molti fattori che influenzano il lancio della moneta. La risposta alla tua domanda è sì, il lancio della moneta è casuale perché fornisce abbastanza casualità per considerare casuale il suo risultato.

Citazione di E. Borel di Bruno de Finetti nel suo articolo Probabilism: un saggio critico sulla teoria della probabilità e sul valore della scienza può servire come motto per questa risposta:

"Si può scommettere, a testa o croce, dopo che la moneta, già lanciata, è nell'aria, in modo che il suo movimento sia determinato. Si può anche scommettere dopo che la moneta è atterrata, a condizione che non si veda cosa lato è atterrato. La probabilità non sta nel fatto che l'evento è indeterminato (nel senso più o meno filosofico del termine) ma solo nella nostra incapacità di prevedere quale possibilità accadrà o di sapere quale possibilità ha avuto luogo ".

Indipendentemente da quanto sia equo il lancio della moneta, non è un buon modo per assegnare trattamenti in una sperimentazione clinica. Con un lancio di monete perfettamente equo, è possibile che tutti i soggetti vengano assegnati allo stesso trattamento! Anche se sarebbe raro, sarebbe abbastanza comune finire con una distribuzione molto sbilenco dei trattamenti.

Meglio: mescolare l'ordine dei soggetti e dare un trattamento alla prima metà e l'altro alla seconda metà. Oppure scrivi i trattamenti su n carte (metà di un trattamento, metà di un altro), metti un cappello, mescola e pesca una carta per ogni soggetto (ovviamente questo può essere computerizzato).

In conclusione: si desidera assegnare casualmente i soggetti ai trattamenti, non scegliere casualmente un trattamento per ciascun soggetto.