Jeffreys Prior per la distribuzione normale con media e varianza sconosciute

Sto leggendo le distribuzioni precedenti e ho calcolato Jeffreys in precedenza per un campione di variabili casuali normalmente distribuite con media e varianza sconosciute. Secondo i miei calcoli, vale quanto segue per Jeffreys: Qui, la matrice di informazioni di Fisher.

p (μ, σ^{2}) = \sqrt{d e t (I)} = \sqrt{d e t (\begin{matrix} 1 / σ^{2} & 0 \\ 0 & 1 / (2 σ^{4}) \end{matrix})} = \sqrt{\frac{1}{2 σ^{6}}} \propto \frac{1}{σ^{3}} .

$p(\mu,\sigma^2)=\sqrt{det(I)}=\sqrt{det\begin{pmatrix}1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}}=\sqrt{\frac{1}{2\sigma^6}}\propto\frac{1}{\sigma^3}.$

I

$I$

Tuttavia, ho anche letto pubblicazioni e documenti che affermano

$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^2$ vedi Sezione 2.2 in Kass e Wassermann (1996) .
$p(\mu,\sigma^2)\propto 1/\sigma^4$ vedi pagina 25 in Yang and Berger (1998)

come Jeffreys prima per il caso di una distribuzione normale con media e varianza sconosciute. Qual è il precedente "reale" di Jeffreys?

— nussig
fonte

Risposte:

Penso che la discrepanza sia spiegata dal fatto che gli autori considerino la densità su o la densità su . A sostegno di questa interpretazione, la cosa esatta che Kass e Wassermann scrivono è mentre Yang e Berger scrivono $\sigma$ $\sigma^2$

π (μ, σ) = 1 / σ^{2},

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma^2,$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4} .

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4.$

— A. Donda
fonte

Grazie, l'ho trascurato. Tuttavia, ciò non spiega ancora la discrepanza tra e .

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ^{4}

$1/\sigma^4$

— Nussig,

In realtà, avere un precedente di equivale a avere un precedente , a causa del proprietà di riparametrizzazione di Jeffreys precedente: con la matrice giacobina di , ovvero .

π (μ, σ) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma)=1/\sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2)=1/\sigma^3$

π (μ, σ) = π (μ, σ^{2}) d e t (J_{f}) \propto \frac{1}{σ^{3}} 2 σ \propto \frac{1}{σ^{2}}

$\pi(\mu, \sigma)=\pi(\mu, \sigma^2)det(J_f)\propto \frac{1}{\sigma^3}2\sigma \propto \frac{1}{\sigma^2}$

J_{f}

$J_f$

f : (μ, σ) \to (μ, σ^{2})

$f: (\mu, \sigma)\to (\mu, \sigma^2)$

J_{f} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 σ \end{matrix})

$J_f=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\sigma\end{pmatrix}$

— Nussig,

@Nussig, ho controllato il calcolo e penso che tu stia arrivando a . Hai anche ragione sul fatto che la riparametrizzazione ammonta solo a un fattore . Considerando questo, il tuo calcolo è conforme a Kass e Wassermann, e posso solo immaginare che Yang e Berger abbiano fatto un errore. Ciò ha senso anche dal momento che il primo è un periodico periodico rivisto e il secondo è una bozza di una sorta di raccolta di formule.

1 / σ^{3}

$1/\sigma^3$

1 / σ

$1/\sigma$

— A. Donda

Kass e Wassermann notano anche che Jeffreys ha introdotto una regola modificata, in base alla quale i parametri di posizione e scala devono essere trattati separatamente. Questo porta a e quindi , ma ancora non a .

π (μ, σ) = 1 / σ

$\pi(\mu, \sigma) = 1 / \sigma$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^2$

π (μ, σ^{2}) = 1 / σ^{4}

$\pi(\mu, \sigma^2) = 1 / \sigma^4$

— A. Donda,

Jim Berger è ancora uno scienziato attivo, quindi per essere sicuri di poter verificare direttamente con lui: stat.duke.edu/~berger

— A. Donda,

Le risposte esistenti rispondono già bene alla domanda originale. Come fisico, vorrei solo aggiungere a questa discussione un argomento sulla dimensionalità. Se consideri e per descrivere una distribuzione di una variabile casuale in uno spazio reale 1D e misurata in metri, hanno le dimensioni e . Per avere un priore fisicamente corretto, è necessario che abbia le giuste dimensioni, ovvero gli unici poteri di fisicamente possibili in un priore non parametrico sono: e . $\mu$ $\sigma^2$ $[\mu] \sim m$ $[\sigma^2] \sim m^2$ $\sigma$

π (μ, σ) \sim 1 / σ^{2}

$\pi(\mu, \sigma) \sim 1/\sigma^{2}$

π (μ, σ^{2}) \sim 1 / σ^{3}

$\pi(\mu, \sigma^2) \sim 1/\sigma^{3}$

— Dr_Zaszuś
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σ^{3}

$\sigma^{3}$

$\frac{1}{\sigma^3}$ $\frac{1}{\sigma^2}$ $\log(\sigma)$

— Jorne Biccler
fonte

\log (σ)

$\log(\sigma)$

χ^{2}

$\chi^2$

(μ, σ^{2}) | D \sim N χ^{- 1} (\bar{X}, n, n, \frac{1}{n} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}) .

$(\mu,\sigma^2)|D \sim \mathcal{N}\chi^{-1}\left(\overline{X}, n,n, \frac{1}{n}\sum(X_i-\overline{X})^2\right).$

1 / σ^{2}

$1/\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} (\bar{X}, n, n - 1, s^{2})

$\chi^2(\bar{X},n,n-1,s^2)$

σ^{2}

$\sigma^2$

χ^{2}

$\chi^2$