Perché il CDF di un campione è distribuito uniformemente

Ho letto qui che, dato un campione da una distribuzione continua con cdf , il campione corrispondente a segue una distribuzione uniforme standard. $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

Ho verificato questo usando simulazioni qualitative in Python e sono stato facilmente in grado di verificare la relazione.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Risultato nel seguente diagramma:

Grafico che mostra il campione di una distribuzione normale e il cdf del campione.

Non riesco a capire perché questo accada. Presumo che abbia a che fare con la definizione del CDF e la sua relazione con il PDF, ma mi manca qualcosa ...

Gradirei se qualcuno potesse indicarmi qualche lettura sull'argomento o aiutarmi a ottenere qualche intuizione sull'argomento.

EDIT: Il CDF è simile al seguente:

CDF della distribuzione campionata

— Maxime Tremblay
fonte

Calcola il cdf di

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong,

Troverai una prova di questa proprietà (per camper continui) in qualsiasi libro sulla simulazione poiché questa è la base del metodo inverso di simulazione cdf.

— Xi'an,

Prova anche a trasformare integralmente

— Zachary Blumenfeld il

@ Xi'an È bene sottolineare che la conclusione vale solo per variabili casuali continue. A volte questo risultato viene erroneamente utilizzato per variabili casuali discrete. D'altra parte, si noti anche che molte prove coinvolgono il passaggio

in cui assume la stretta monotonicità di

, che è anche un presupposto troppo forte. Il seguente collegamento fornisce una sintesi rigorosa su questo argomento: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong l'unica condizione necessaria per

è che sia càdlàg.

F

$F$

— AdamO,

Supponiamo che sia continuo e in aumento. Definisci e nota che assume valori in . Quindi $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

$U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
fonte

Ne segue che Z ha una distribuzione uniforme (0, 1)?

— StatsSorceress

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

$F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— ADAMO
fonte

Y = F (X)

$Y = F(X)$