Trova la MVUE unica


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Questa domanda è tratta dall'Introduzione alla statistica matematica di Robert Hogg, problema della sesta versione 7.4.9 a pagina 388.

Lascia che sia iid con pdf zero altrove, dove .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,θ<x<2θ,θ>0

(a) Trova il mle diθ^θ

(b) una statistica sufficiente per ? Perché ?θ^θ

(c) È la MVUE unica di ? Perché ?(n+1)θ^/nθ

Penso di poter risolvere (a) e (b), ma sono confuso da (c).

Per un):

Lascia che sia la statistica dell'ordine.Y1<Y2<...Yn

L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n quando e ; altroveθ<y1yn<2θL(θ;x)=0

dL(θ;x)dθ=n(3θ)n1 , poiché , possiamo vedere che questa derivata è negativa,θ>0

quindi la funzione di probabilità sta diminuendo.L(θ;x)

Da e , e y n < 2 θ ) ( θ > - y 1 θ > y n / 2 ) , θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 )(θ<y1yn<2θ) (θ>y1θ>yn/2),θ>max(y1,yn/2)

θ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 ) θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 )L(θ,x) sta diminuendo, quindi quando ha il valore più alto la funzione di probabilità raggiungerà il massimo, poiché , quando , la funzione di verosimiglianza raggiungerà il valore massimo.θθ>max(y1,yn/2)θ=max(y1,yn/2)

θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 ) mleθ^=max(y1,yn/2)

Per (b):

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1

y n = m a x ( x i ) θ y n / 2 teorema di fattorizzazione di Neyman, è una statistica sufficiente per . Pertanto, è anche una statisitc sufficienteyn=max(xi)θyn/2

samely,

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>θ)×1

y 1 = m i n ( x i ) θ - y 1 teorema di fattorizzazione di Neyman, è una statistica sufficiente per . Pertanto, è anche una statistica sufficiente.y1=min(xi)θy1

Per (c):

Innanzitutto, troviamo il CDF diX

F(x)=θx13θdt=x+θ3θ,θ<x<2θ

Successivamente, possiamo trovare pdf per e dalla formula del libro per le statistiche dell'ordine.nY1Yn

f(y1)=n!(11)!(n1)![F(y1)]11[1F(y1)]n1f(y1)=n[1y1+θ3θ]n113θ=n1(3θ)n(2θy1)n1

samely,

f(yn)=n(yn+θ3θ)n113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n1

Successivamente, mostriamo la completezza della famiglia di PDF per ef ( y n )f(y1)f(yn)

FTCu(θ)=0θ>0E[u(Y1)]=θ2θu(y1)n1(3θ)n(2θy1)n1dy1=0θ2θu(y1)(2θy1)dy1=0 . Tramite (derivare l'integrale) possiamo mostrare per tutti .FTCu(θ)=0θ>0

Pertanto, la famiglia di pdf è completa ..Y1

Samely, sempre da , possiamo dimostrare che la famiglia di pdf è completa.Y nFTCYn

Il problema ora è che dobbiamo mostrare che è imparziale.(n+1)θ^n

Quandoθ^=y1

E(y1)=θ2θ(y1)n(3θ)n(2θy1)n1dy1=1(3θ)nθ2θy1d(2θy1)n

Siamo in grado di risolvere l'integrale integrando le parti

E(y1)=1(3θ)n[y1(2θy1)nθ2θθ2θ(2θy1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n(3θ)n+1n+1]=θ3θn+1=(n2)θn+1

E((n+1)θ^n)=n+1nE(y1)=n+1n(n2)θn+1=n2nθ

Pertanto, non è uno stimatore imparziale di quando θ θ =-y1(n+1)θ^nθθ^=y1

Quandoθ^=yn/2

E(Yn)=θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n1dyn=1(3θ)nθ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)nθ2θθ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)(3θ)n+1n+1]=2θ3θn+1=2n1n+1θ

E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n1n+1θ=2n12nθ

Tuttavia, non è uno stimatore imparziale di quando θ θ =yn/2(n+1)θ^nθθ^=yn/2

Ma la risposta del libro è che è un MVUE unico. Non capisco perché sia ​​un MVUE se è uno stimatore distorto.(n+1)θ^n

Oppure i miei calcoli sono sbagliati, per favore aiutami a trovare gli errori, posso darti calcoli più dettagliati.

Grazie mille.


Non vedo alcun calcolo della distribuzione di . θ^
whuber

Grazie, whuber, il . È o dipende da quale è più grande. Ho calcolato le distribuzioni sia per che . Puoi vedere e nel testo. θ^=max(y1,yn/2)y n / 2 y 1 y n f ( y 1 ) = n 1y1yn/2y1ynf(yn)=n1f(y1)=n1(3θ)n(2θy1)n1f(yn)=n1(3θ)n(yn+θ)n1
Deep North

E dalle due distribuzioni precedenti, ho calcolato ed quindiE ( θ ) = E ( Y n / 2 ) E ( n + 1E(θ^)=E(Y1)E(θ^)=E(Yn/2)E(n+1nθ^)
Deep North

Risposte:


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Lavorare con extrema richiede cura, ma non deve essere difficile. La domanda cruciale, trovata vicino al centro del post, è

... dobbiamo dimostrare che è imparziale.n+1nθ^n

In precedenza hai ottenuto

θ^=max(y1,yn/2)=max{min{yi},max{yi}/2}.

Anche se che sembra disordinato, i calcoli diventano elementare se si considera la funzione di ripartizione . Per iniziare, nota che . Sia un numero in questo intervallo. Per definizione,0 θθ tF0θ^θt

F(t)=Pr(θ^t)=Pr(y1<t and yn/2t)=Pr(ty1y2yn2t).

Questa è la possibilità che tutti i valori siano compresi tra e . Quei valori vincolano un intervallo di lunghezza . Poiché la distribuzione è uniforme, la probabilità che qualsiasi specifico in questo intervallo è proporzionale alla sua lunghezza:- t 2 t 3 t y int2t3tyi

Pr(yi[t,2t])=3t3θ=tθ.

Poiché sono indipendenti, queste probabilità si moltiplicano, dandoyi

F(t)=(tθ)n.

L'attesa può essere trovata immediatamente integrando la funzione di sopravvivenza nell'intervallo di valori possibili per , , usando per la variabile:1F [0,θ]y=t/θθ^[0,θ]y=t/θ

E(θ^)=0θ(1(tθ)n)dt=01(1yn)θdy=nn+1θ.

(Questa formula per l'attesa è derivata dal solito integrale tramite integrazione per parti. I dettagli sono forniti alla fine di https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)

Il ridimensionamento di dà(n+1)/n

E(n+1nθ^)=θ,

QED .


C'è un refuso per l'ultima formula, dovrebbe essere not θ nθ^θ^n
Deep North

@Deep Oh, certo! Grazie per averlo sottolineato. Ora è stato risolto.
whuber
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