Pearson VS Deviance Residuals nella regressione logistica

So che i residui Pearson standardizzati sono ottenuti in modo probabilistico tradizionale:

$$r_i = \frac{y_i-\pi_i}{\sqrt{\pi_i(1-\pi_i)}}$$

e Deviance Residuals sono ottenuti attraverso un modo più statistico (il contributo di ciascun punto alla probabilità):

$$d_i = s_i \sqrt{-2[y_i \log \hat{\pi_i} + (1 - y_i)\log(1-\pi_i)]}$$

dove = 1 se = 1 e = -1 se = 0.y i s i y $s_i$$y_i$$s_i$$y_i$

Puoi spiegarmi, intuitivamente, come interpretare la formula per i residui di devianza?

Inoltre, se voglio sceglierne uno, quale è più adatto e perché?

A proposito, alcuni riferimenti sostengono che deriviamo i residui di devianza in base al termine

$$-\frac{1}{2}{r_i}^2$$

dove è menzionato sopra.$r_i$

La regressione logistica cerca di massimizzare la funzione di probabilità logaritmica

$LL = \sum^k \ln(P_i) + \sum^r \ln(1-P_i)$

dove è la probabilità prevista che il caso i sia ; è il numero di casi osservati come e è il numero di (il resto) casi osservati come .$P_i$$\hat Y=1$$k$$Y=1$$r$$Y=0$

Quell'espressione è uguale a

$LL = ({\sum^k d_i^2} + {\sum^r d_i^2})/-2$

perché il residuo di devianza di un caso è definito come:

$d_i = \begin{cases} \sqrt{-2\ln(P_i)} &\text{if } Y_i=1\\ -\sqrt{-2\ln(1-P_i)} &\text{if } Y_i=0\\ \end{cases}$

Pertanto, la regressione logistica binaria cerca direttamente di minimizzare la somma dei residui di devianza al quadrato. Sono i residui di devianza che sono implicati nell'algoritmo ML della regressione.

La statistica Chi-sq del modello è , dove il modello completo contiene predittori e il modello ridotto no.$2(LL_\text{full model} - LL_\text{reduced model})$