P(X= i ) = p(i)
Xio0 , 1 , … , n. Quindi la probabilità di due occhi, diciamo, è nella terza componente vettoriale. Quindi un dado standard ha una distribuzione data dal vettore
( 0 , 1 / 6 , 1 / 6 , 1 / 6 , 1 / 6 , 1 / 6 , 1 / 6 ). La funzione generatrice di probabilità (pgf) viene quindi data da
p ( t ) = ∑60p ( i ) tio. Lascia che il secondo dado abbia distribuzione data dal vettore
q( j ) con
j nel raggio di azione
0 , 1 , … , m. Quindi la distribuzione della somma degli occhi su due tiri di dado indipendenti dati dal prodotto del pgf,
p ( t ) q( t ). Scrivendo questo prodotto possiamo vedere che è dato dalla convoluzione delle sequenze di coefficienti, quindi può essere trovato dalla funzione R convolve (). Proviamo questo con due tiri di dadi standard:
> p <- q <- c(0, rep(1/6,6))
> pq <- convolve(p,rev(q),type="open")
> zapsmall(pq)
[1] 0.00000000 0.00000000 0.02777778 0.05555556 0.08333333 0.11111111
[7] 0.13888889 0.16666667 0.13888889 0.11111111 0.08333333 0.05555556
[13] 0.02777778
e puoi verificare che sia corretto (con il calcolo manuale). Ora per la vera domanda, cinque dadi con 4,6,8,12,20 lati. Farò il calcolo assumendo puntelli uniformi per ogni dado. Poi:
> p1 <- c(0,rep(1/4,4))
> p2 <- c(0,rep(1/6,6))
> p3 <- c(0,rep(1/8,8))
> p4 <- c(0, rep(1/12,12))
> p5 <- c(0, rep(1/20,20))
> s2 <- convolve(p1,rev(p2),type="open")
> s3 <- convolve(s2,rev(p3),type="open")
> s4 <- convolve(s3,rev(p4),type="open")
> s5 <- convolve(s4, rev(p5), type="open")
> sum(s5)
[1] 1
> zapsmall(s5)
[1] 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000 0.00002170
[7] 0.00010851 0.00032552 0.00075955 0.00149740 0.00262587 0.00421007
[13] 0.00629340 0.00887587 0.01191406 0.01534288 0.01907552 0.02300347
[19] 0.02699653 0.03092448 0.03465712 0.03808594 0.04112413 0.04370660
[25] 0.04578993 0.04735243 0.04839410 0.04891493 0.04891493 0.04839410
[31] 0.04735243 0.04578993 0.04370660 0.04112413 0.03808594 0.03465712
[37] 0.03092448 0.02699653 0.02300347 0.01907552 0.01534288 0.01191406
[43] 0.00887587 0.00629340 0.00421007 0.00262587 0.00149740 0.00075955
[49] 0.00032552 0.00010851 0.00002170
> plot(0:50,zapsmall(s5))
La trama è mostrata di seguito:
Ora puoi confrontare questa soluzione esatta con le simulazioni.