Quando (e perché) dovresti prendere il registro di una distribuzione (di numeri)?

Supponiamo di avere alcuni dati storici, ad esempio i prezzi delle azioni precedenti, le fluttuazioni dei prezzi dei biglietti aerei, i dati finanziari passati dell'azienda ...

Ora arriva qualcuno (o qualche formula) che dice "prendiamo / usiamo il registro della distribuzione" ed ecco dove vado PERCHÉ ?

Domande:

1. PERCHÉ si dovrebbe prendere il registro della distribuzione in primo luogo?
2. CHE COSA dà il log della distribuzione "dà / semplifica" che la distribuzione originale non ha potuto / non ha potuto?
3. La trasformazione del registro è "senza perdita"? Cioè, quando si trasforma in log-space e si analizzano i dati, valgono le stesse conclusioni per la distribuzione originale? Come mai?
4. E infine QUANDO prendere il registro della distribuzione? In quali condizioni si decide di farlo?

Volevo davvero capire le distribuzioni basate su log (ad esempio lognormal) ma non ho mai capito gli aspetti quando / perché - ovvero, il log della distribuzione è una distribuzione normale, e allora? Cosa dice questo e me e perché preoccuparsi? Da qui la domanda!

AGGIORNAMENTO : Secondo il commento di @ whuber ho guardato i post e per qualche ragione capisco l'uso delle trasformazioni dei log e la loro applicazione in regressione lineare, poiché è possibile tracciare una relazione tra la variabile indipendente e il log della variabile dipendente. Tuttavia, la mia domanda è generica nel senso di analizzare la distribuzione stessa: non esiste alcuna relazione di per sé che posso concludere per aiutare a capire il motivo di prendere i log per analizzare una distribuzione. Spero di avere un senso: - /

Nell'analisi di regressione hai vincoli sul tipo / adattamento / distribuzione dei dati e puoi trasformarli e definire una relazione tra la variabile indipendente e (non trasformata) dipendente. Ma quando / perché lo si dovrebbe fare per una distribuzione isolata in cui i vincoli di tipo / adattamento / distribuzione non sono necessariamente applicabili in un quadro (come la regressione). Spero che il chiarimento renda le cose più chiare che confuse :)

Questa domanda merita una risposta chiara su "PERCHÉ e QUANDO"

$\log Y = \beta_0 + \beta_1t$$Y$$Y$$Y$$Y^2$. Non ricordo la fonte originale per quanto segue, ma riassume bene il ruolo delle trasformazioni di potenza. È importante notare che le ipotesi distributive riguardano sempre il processo di errore e non la Y osservata, quindi è un "no-no" definito analizzare le serie originali per una trasformazione appropriata, a meno che la serie non sia definita da una costante semplice.

Trasformazioni ingiustificate o errate, comprese le differenze, dovrebbero essere evitate con attenzione poiché sono spesso un tentativo fuori moda / mal concepito per affrontare anomalie non identificate / variazioni di livello / tendenze temporali o cambiamenti nei parametri o variazioni nella varianza degli errori. Un esempio classico di questo è discusso a partire dalla diapositiva 60 qui http://www.autobox.com/cms/index.php/afs-university/intro-to-forecasting/doc_download/53-capabilities-presentation in cui tre anomalie dell'impulso ( non trattato) ha portato a una trasformazione dei tronchi ingiustificata da parte dei primi ricercatori. Purtroppo alcuni dei nostri attuali ricercatori stanno ancora commettendo lo stesso errore.

La trasformazione ottimale della potenza si trova attraverso il Test Box-Cox dove

• -1. è reciproco
• -.5 è una radice quadrata ricriprocale
• 0.0 è una trasformazione del registro
• .5 è una trasformazione quadrata di toot e
• 1.0 non è una trasformazione.

$Y_t=u +a_t$$Y$$a_t$$a_t$$Y_t$$a_t$$Y_t$$Y$$Y$$Y$$X$$Y$$X$$\log Y$$\log X$. In sintesi, le trasformazioni sono come le droghe, alcune sono buone e altre sono cattive per te! Dovrebbero essere usati solo quando necessario e quindi con cautela.

La scala logaritmica informa sui cambiamenti relativi (moltiplicativi), mentre la scala lineare informa sui cambiamenti assoluti (additivo). Quando li usi? Quando ti preoccupi delle modifiche relative, usa la scala dei log; quando ti preoccupi dei cambiamenti assoluti, usa la scala lineare. Questo vale per le distribuzioni, ma anche per qualsiasi quantità o modifica delle quantità.

Nota, qui uso la parola "cura" in modo molto specifico e intenzionale. Senza un modello o un obiettivo, non è possibile rispondere alla tua domanda; il modello o l'obiettivo definisce quale scala è importante. Se stai cercando di modellare qualcosa e il meccanismo agisce tramite una modifica relativa, la scala dei log è fondamentale per acquisire il comportamento visto nei tuoi dati. Ma se il meccanismo del modello sottostante è additivo, ti consigliamo di utilizzare la scala lineare.

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Se convertiamo in spazio log, le modifiche relative vengono visualizzate come modifiche assolute.

$\log_{10}(\$1)$$\log_{10}(\$1.10)$
$\log_{10}(\$100)$$\log_{10}(\$110)$

Ora, prendendo la differenza assoluta nello spazio del registro , scopriamo che entrambi sono stati modificati da .0413.

Entrambe queste misure di cambiamento sono importanti e quale è importante per te dipende esclusivamente dal tuo modello di investimento. Esistono due modelli. (1) Investire un importo fisso di capitale o (2) investire in un numero fisso di azioni.

Modello 1: investire con un importo fisso di capitale.

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Modello 2: numero fisso di azioni.

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Supponiamo ora di considerare un valore di borsa come una variabile casuale che fluttua nel tempo e che vogliamo elaborare un modello che rifletta in generale il comportamento delle azioni. E diciamo che vogliamo usare questo modello per massimizzare il profitto. Calcoliamo una distribuzione di probabilità i cui valori x sono in unità di "prezzo delle azioni" e valori y in probabilità di osservare un determinato prezzo delle azioni. Lo facciamo per lo stock A e lo stock B. Se ti iscrivi al primo scenario, dove hai un importo fisso di capitale che desideri investire, prendere il registro di queste distribuzioni sarà informativo. Perché? Quello che ti interessa è la forma della distribuzione nello spazio relativo. Se uno stock va da 1 a 10 o da 10 a 100 non importa per te, giusto? Entrambi i casi sono 10 volteguadagno relativo. Ciò appare naturalmente in una distribuzione su scala logaritmica in cui i guadagni unitari corrispondono direttamente ai guadagni di fold. Per due titoli il cui valore medio è diverso ma la cui variazione relativa è distribuita in modo identico (hanno la stessa distribuzione delle variazioni percentuali giornaliere ), le loro distribuzioni di tronchi saranno identiche nella forma appena spostata. Al contrario, le loro distribuzioni lineari non avranno forma identica, con la distribuzione a valore più elevato con una varianza maggiore.

Se dovessi guardare queste stesse distribuzioni nello spazio lineare o assoluto, penseresti che i prezzi delle azioni di maggior valore corrispondano a maggiori fluttuazioni. Per i tuoi scopi di investimento, tuttavia, dove contano solo i guadagni relativi, ciò non è necessariamente vero.

Esempio 2. Reazioni chimiche. Supponiamo di avere due molecole A e B che subiscono una reazione reversibile.

$A\Leftrightarrow B$

che è definito dalle singole costanti di velocità

$k_{ab}$$A\Rightarrow B$$k_{ba}$$B\Rightarrow A$

Il loro equilibrio è definito dalla relazione:

$K=\frac{k_{ab}}{k_{ba}}=\frac{[A]}{[B]}$

$A$$B$

$K^*=k_{ab}-k_{ba}=[A]-[B]$

$(0,\inf)$

EDIT . Un parallelo interessante che mi ha aiutato a costruire l'intuizione è l'esempio dei mezzi aritmetici contro i mezzi geometrici. Una media aritmetica (vaniglia) calcola la media dei numeri assumendo un modello nascosto in cui le differenze assolute sono importanti. Esempio. La media aritmetica di 1 e 100 è 50,5. Supponiamo che stiamo parlando di concentrazioni, in cui la relazione chimica tra le concentrazioni è moltiplicativa. Quindi la concentrazione media dovrebbe davvero essere calcolata sulla scala del log. Questa è chiamata media geometrica. La media geometrica di 1 e 100 è 10! In termini di differenze relative, ciò ha senso: 10/1 = 10 e 100/10 = 10, cioè la variazione relativa tra la media e due valori è la stessa. Inoltre troviamo la stessa cosa; 50,5-1 = 49,5 e 100-50,5 = 49,5.