Aiutami a capire la funzione quantile (CDF inversa)

Sto leggendo della funzione quantile, ma non mi è chiaro. Potresti fornire una spiegazione più intuitiva di quella fornita di seguito?

Poiché il cdf è una funzione monotonicamente crescente, ha un inverso; denotiamo questo con . Se è il cdf di , allora è il valore di tale che ; questo è chiamato il quantile di . Il valore è la mediana della distribuzione, con metà della massa di probabilità a sinistra e metà a destra. I valori e sono i quartili inferiore e superiore. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
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Dovresti imparare a usare il markup matematico, vedi le mie modifiche!

— kjetil b halvorsen,

Questo è un modello di spiegazione concisa a un certo livello e contiene già un esempio. Non è chiaro quale livello di spiegazione cerchi. Una risposta potrebbe essere 10 volte più lunga di questa a seconda di ciò che non conosci. Ad esempio, sai che un cdf è? sai cosa significa "monotonicamente crescente"? sai cos'è una funzione inversa? Siamo solo a metà della prima frase. La tua domanda equivale a un'affermazione che non capisci (tutto) e sebbene non abbiamo motivo di dubitare di te, questa non è affatto una domanda precisa.

— Nick Cox,

Tutto ciò può sembrare complicato all'inizio, ma si tratta essenzialmente di qualcosa di molto semplice.

Con la funzione di distribuzione cumulativa denotiamo la funzione che restituisce probabilità che $X$ sia minore o uguale a un valore $x$ ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Questa funzione accetta come input e restituisce valori dall'intervallo (probabilità) - li indica come . L' inverso della funzione di distribuzione cumulativa (o funzione quantile) indica cosa farebbe in modo che restituisse un valore , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Questo è illustrato nel diagramma seguente che utilizza la normale funzione di distribuzione cumulativa (e il suo inverso) come esempio.

Esempio

A titolo di esempio, puoi prendere una distribuzione Gumbel standard . La sua funzione di distribuzione cumulativa è

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

e può essere facilmente invertito: il richiamo della funzione di logaritmo naturale è un inverso della funzione esponenziale , quindi è immediatamente ovvio che la funzione quantile per la distribuzione di Gumbel è

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Come puoi vedere, la funzione quantile, secondo il suo nome alternativo, "inverte" il comportamento della funzione di distribuzione cumulativa.

Funzione di distribuzione inversa generalizzata

Non tutte le funzioni hanno un contrario. Ecco perché la citazione a cui ti riferisci dice "funzione monotonicamente crescente". Ricordiamo che dalla definizione della funzione , deve assegnare ad ogni valore di input esattamente un output. Le funzioni di distribuzione cumulativa per variabili casuali continue soddisfano questa proprietà poiché sono monotonicamente in aumento. Per variabili casuali discrete le funzioni di distribuzione cumulativa non sono continue e in aumento, quindi utilizziamo funzioni di distribuzione inversa generalizzate che devono essere non decrescenti. Più formalmente, la funzione di distribuzione inversa generalizzata è definita come

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

La definizione, tradotta in inglese semplice, dice che per un dato valore di probabilità , stiamo cercando un po ' , che risulti in restituisca un valore maggiore o uguale a , ma poiché potrebbero esserci più valori di che soddisfano questo condizione (es. è vera per qualsiasi ), quindi prendiamo la più piccola di quelle. $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Funziona senza inversioni

In generale, non vi sono inversioni per funzioni che possono restituire lo stesso valore per ingressi diversi, ad esempio funzioni di densità (ad esempio, la funzione di densità normale standard è simmetrica, quindi restituisce gli stessi valori per e ecc.). La distribuzione normale è un esempio interessante per un'altra ragione: è uno degli esempi di funzioni di distribuzione cumulativa che non hanno un inverso in forma chiusa . Non tutte le funzioni di distribuzione cumulativa devono avere un inverso in forma chiusa ! Si spera che in questi casi gli inversi possano essere trovati usando metodi numerici. $-2$ $2$

Caso d'uso

La funzione quantile può essere utilizzata per la generazione casuale come descritto in Come funziona il metodo di trasformazione inversa?

— Tim
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Questa risposta funziona bene fino al penultimo paragrafo. Quando arrivi lì, hai affermato che ogni CDF continuo ha un inverso, ma poi sembra che tu abbia offerto la distribuzione Normale come controesempio a quella stessa affermazione. Questo è potenzialmente molto confuso.

— whuber

@whuber hai ragione, ha aggiunto una frase per renderlo più chiaro.

— Tim

Tim, e ho aggiunto un'altra parola per renderlo ancora più chiaro :)

— ameba dice Reinstate Monica

@Tim ottima risposta ma potresti far luce sulla definizione del cdf inverso ? Come hai detto, ti chiediamo cosa farebbe . Capisco la parte come segue. Poiché il cdf è monotono in aumento, ci sono molti valori che soddisfano tutti ma il

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

@AlexanderCska Sì, sostanzialmente, più valori F (x) sono maggiori di u, quindi prendiamo il limite inferiore, "il valore più piccolo che soddisfa questa condizione".

— Tim

Tim ha avuto una risposta molto approfondita. Buon lavoro!

Vorrei aggiungere un'altra osservazione. Non ogni funzione monotonicamente crescente ha una funzione inversa. In realtà solo le funzioni di aumento / diminuzione rigorosamente monotoniche hanno funzioni inverse.

Per aumentare il cdf monotonicamente che non sono strettamente monotonicamente crescenti, abbiamo una funzione quantile che è anche chiamata la funzione di distribuzione cumulativa inversa. Puoi trovare maggiori dettagli qui .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
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