La somma di una variabile casuale discreta e una continua casuale continua o mista?

Se è un discreto e è una variabile casuale continua, allora cosa possiamo dire della distribuzione di ? È continuo o è misto? $X$ $Y$ $X+Y$

Che dire del prodotto ? $XY$

self-study distributions random-variable

— user666
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Risposte:

Supponiamo che assuma valori con distribuzione discreta , dove è un insieme numerabile e assume valori in con densità e CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Lasciare . Abbiamo che può essere differenziato per ottenere una funzione di densità per data da $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Ora lascia e ipotizza . Quindi che può essere nuovamente differenziato per ottenere una funzione di densità. $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

Tuttavia, se , allora , il che dimostra che in questo caso ha un atomo a 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— Joris Bierkens
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Sia una variabile casuale discreta con funzione di massa di probabilità , dove è un insieme discreto (possibilmente numerabile infinito). La variabile casuale può essere considerata come una variabile casuale continua con la seguente funzione di densità di probabilità $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

dove è la funzione delta di Dirac. $\delta$

Se è una variabile casuale continua, allora è una variabile casuale ibrida . Come sappiamo le funzioni di densità di probabilità di e , siamo in grado di calcolare la funzione di densità di probabilità di . Supponendo che e siano indipendenti, la funzione di densità di probabilità di è data dalla convoluzione delle funzioni di densità di probabilità e $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— Rodrigo de Azevedo
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Perché il downvote?

— Rodrigo de Azevedo,

Sì, sono anche curioso del downvote

— Yair Daon,

@Yair Non l'ho sottovalutato, ma sembra una risposta fuorviante e incompleta. Scrivere semplicemente una distribuzione in termini di un delta di Dirac non la rende continua! Questa risposta è anche limitata dal fatto che (a) non considera distribuzioni discrete generali, che possono avere un infinito numerabile di atomi e (b) presuppone implicitamente che e siano indipendenti.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@whuber Sono d'accordo con (b). Tuttavia, si dice che un camper discreto "può essere pensato come ...", quindi penso che aggiunga una visione interessante.

— Yair Daon,

Ecco perché ho scritto che la tua risposta è fuorviante. Poiché la domanda riguarda la distinzione tra distribuzioni discrete e continue - e tale distinzione è una questione di definizione matematica, non di "gusto", i tuoi sforzi per confondere i due saranno probabilmente meno utili.

— whuber

Questa risposta presuppone che e siano indipendenti. Ecco una soluzione che non ha bisogno di tale presupposto. $X$ $Y$

Modifica: presumo che "continuo" significhi "avere un pdf". Se invece si intende continuo senza atom, la dimostrazione è simile; sostituisci semplicemente "Lebesgue null set" con "singleton set" in quanto segue.

Lascia che il supporto di sia l'insieme numerabile . userò $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

Lemma: una variabile casuale è continua se e solo per tutti gli insiemi misurabili di Borel con misura di Lebesgue zero. $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

Prova: usa il teorema di Lebesgue-Radon-Nikodym . $\square$

Per dimostrare che è continuo, prendi qualsiasi set nullo e nota che Ma se e solo se . Il set spostato è ancora Lebesgue null. Poiché è continuo, questo significa , quindi la somma sopra è zero, dimostrando che è continuo. $X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

Per la domanda di prodotti, si applica la stessa logica purché . Se , allora è discreto con . Altrimenti, è una miscela non banale. $P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— Mike Earnest
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