Media della distribuzione esponenziale inversa

Data una variabile casuale , qual è la media e la varianza di ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

Guardo Inverse Gamma Distribution, ma la media e la varianza sono definite solo per e rispettivamente ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Dato che la distribuzione esponenziale inversa ha , ti sei imbattuto nel fatto che la media dell'esponenziale inverso è . E quindi, la varianza dell'esponenziale inverso non è definita.$\alpha = 1$$\infty$

Se è distribuito in modo esponenziale inverso, esiste ed è finito per e per .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Mostrerò il calcolo per la media di una distribuzione esponenziale in modo da ricordarti l'approccio. Quindi, prenderò l'inverso esponenziale con lo stesso approccio.

Dato$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Integrazione per parte ( per il momento ignora davanti all'integrale),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Moltiplica per il davanti all'integrale,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Valuta per e ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Che è un risultato noto.

Per , si applica la stessa logica.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

La differenza principale è che per un'integrazione per parti,

$u = y^{-1}$

e

$du = -1y^{-2}$

quindi non ci aiuta per . Penso che l'integrale qui non sia definito. Wolfram alpha mi dice che non converge.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

Quindi la media non esiste per l'esponenziale inverso, o, equivalentemente, per la gamma inversa con . Il motivo è simile per la varianza e .$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Dopo una rapida simulazione (in R), sembra che la media non esista:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Per motivi di confronto, ecco cosa succede con una vera variabile casuale esponenziale.