T-test associato come caso speciale di modellazione lineare ad effetti misti

Sappiamo che un test t accoppiato è solo un caso speciale di ANOVA a misure ripetute a senso unico (o all'interno del soggetto) e modello lineare a effetto misto, che può essere dimostrato con la funzione lme () il pacchetto nlme in R come mostrato di seguito.

#response data from 10 subjects under two conditions
x1<-rnorm(10)
x2<-1+rnorm(10)

# Now create a dataframe for lme
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

Quando eseguo il seguente test t accoppiato:

t.test(x1, x2, paired = TRUE)

Ho ottenuto questo risultato (otterrai un risultato diverso a causa del generatore casuale):

t = -2.3056, df = 9, p-value = 0.04657

Con l'approccio ANOVA possiamo ottenere lo stesso risultato:

summary(aov(y ~ x + Error(subj/x), myDat))

# the F-value below is just the square of the t-value from paired t-test:
          Df  F value Pr(>F)
x          1  5.3158  0.04657

Ora posso ottenere lo stesso risultato in lme con il modello seguente, assumendo una matrice di correlazione simmetrica definita positiva per le due condizioni:

summary(fm1 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.3142115  9 -0.7918878  0.4488
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.3056084  0.0466

O un altro modello, ipotizzando una simmetria composta per la matrice di correlazione delle due condizioni:

summary(fm2 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdCompSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.4023431  9 -0.618428  0.5516
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.305608  0.0466

Con il test t accoppiato e le misure ripetute a senso unico ANOVA, posso scrivere il modello di media cellulare tradizionale come

Yij = μ + αi + βj + εij, i = 1, 2; j = 1, ..., 10

dove i indicizza la condizione, j indica il soggetto, Y _ij è la variabile di risposta, μ è costante per l'effetto fisso per la media complessiva, α _i è l'effetto fisso per la condizione, β _j è l'effetto casuale per il soggetto che segue N (0, σ _p ² ) (σ _p ² è la varianza della popolazione) e ε _ij è residuo dopo N (0, σ ² ) (σ ² è la varianza all'interno del soggetto).

Ho pensato che il modello di media cellulare sopra non sarebbe appropriato per i modelli di lme, ma il problema è che non riesco a trovare un modello ragionevole per i due approcci di lme () con l'ipotesi della struttura di correlazione. Il motivo è che il modello lme sembra avere più parametri per i componenti casuali rispetto al modello medio di cella sopra offerto. Almeno il modello lme fornisce esattamente lo stesso valore F, gradi di libertà e valore p, che gls non può. Più specificamente gls fornisce DF errati a causa del fatto che non tiene conto del fatto che ogni soggetto ha due osservazioni, portando a DF molto gonfiati. Molto probabilmente il modello lme è sovra parametrizzato nel specificare gli effetti casuali, ma non so quale sia il modello e quali siano i parametri. Quindi il problema è ancora irrisolto per me.

L'equivalenza dei modelli può essere osservata calcolando la correlazione tra due osservazioni dello stesso individuo, come segue:

Come nella tua notazione, lascia che , dove e . Quindi , perché tutti gli altri termini sono indipendenti o fissi e , quindi la correlazione è .$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$\beta_j \sim N(0, \sigma_p^2)$$\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$Cov(y_{ik}, y_{jk}) = Cov(\mu + \alpha_i + \beta_k + \epsilon_{ik}, \mu + \alpha_j + \beta_k + \epsilon_{jk}) = Cov(\beta_k, \beta_k) = \sigma_p^2$$Var(y_{ik}) = Var(y_{jk}) = \sigma_p^2 + \sigma^2$$\sigma_p^2/(\sigma_p^2 + \sigma^2)$

Si noti che i modelli tuttavia non sono del tutto equivalenti in quanto il modello a effetto casuale impone che la correlazione sia positiva. Il modello CS e il modello t-test / anova no.

EDIT: ci sono anche altre due differenze. Innanzitutto, i modelli CS e gli effetti casuali assumono la normalità per l'effetto casuale, ma il modello t-test / anova no. In secondo luogo, i modelli CS ed effetti casuali sono adattati usando la massima probabilità, mentre l'anova è adattata usando quadrati medi; quando tutto è bilanciato, saranno d'accordo, ma non necessariamente in situazioni più complesse. Infine, sarei diffidente nell'utilizzare i valori F / df / p dai vari accoppiamenti come misure di quanto i modelli concordano; vedere il famoso massetto di Doug Bates su df per maggiori dettagli. (MODIFICA FINE)

Il problema con il tuo Rcodice è che non stai specificando correttamente la struttura di correlazione. È necessario utilizzare glscon la corCompSymmstruttura di correlazione.

Genera dati in modo che ci sia un effetto soggetto:

set.seed(5)
x <- rnorm(10)
x1<-x+rnorm(10)
x2<-x+1 + rnorm(10)
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), 
                    rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

Quindi ecco come si adatteranno gli effetti casuali e i modelli di simmetria composta.

library(nlme)
fm1 <- lme(y ~ x, random=~1|subj, data=myDat)
fm2 <- gls(y ~ x, correlation=corCompSymm(form=~1|subj), data=myDat)

Gli errori standard dal modello di effetti casuali sono:

m1.varp <- 0.5453527^2
m1.vare <- 1.084408^2

E la correlazione e la varianza residua dal modello CS è:

m2.rho <- 0.2018595
m2.var <- 1.213816^2

E sono uguali a quanto previsto:

> m1.varp/(m1.varp+m1.vare)
[1] 0.2018594
> sqrt(m1.varp + m1.vare)
[1] 1.213816

Altre strutture di correlazione di solito non si adattano agli effetti casuali ma semplicemente specificando la struttura desiderata; un'eccezione comune è il modello di effetti casuali AR (1) +, che ha un effetto casuale e una correlazione AR (1) tra osservazioni sullo stesso effetto casuale.

EDIT2: Quando inserisco le tre opzioni, ottengo esattamente gli stessi risultati, tranne che gls non cerca di indovinare il df per il periodo di interesse.

> summary(fm1)
...
Fixed effects: y ~ x 
                 Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423  9 -1.461839  0.1778
xx2          2.0772757 0.4849618  9  4.283380  0.0020

> summary(fm2)
...
                 Value Std.Error   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423 -1.461839  0.1610
xx2          2.0772757 0.4849618  4.283380  0.0004

> m1 <- lm(y~ x + subj, data=myDat)
> summary(m1)
...
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  -0.3154     0.8042  -0.392  0.70403   
xx2           2.0773     0.4850   4.283  0.00204 **

(L'intercettazione è diversa qui perché con la codifica predefinita, non è la media di tutte le materie ma invece la media della prima materia.)

È anche interessante notare che il lme4pacchetto più recente fornisce gli stessi risultati ma non prova nemmeno a calcolare un valore p.

> mm1 <- lmer(y ~ x + (1|subj), data=myDat)
> summary(mm1)
...
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  -0.5611     0.3838  -1.462
xx2           2.0773     0.4850   4.283

Si potrebbe anche considerare l'uso della funzione mixednel pacchetto afexper restituire valori p con approssimazione Kenf-Roger df, che restituisce valori p identici come un test t accoppiato:

library(afex)
mixed(y ~ x + (1|subj), type=3,method="KR",data=myDat) 

O

library(lmerTest)
options(contrasts=c('contr.sum', 'contr.poly'))
anova(lmer(y ~ x + (1|subj),data=myDat),ddf="Kenward-Roger")