Dalla distribuzione uniforme alla distribuzione esponenziale e viceversa

Questa è probabilmente una domanda banale, ma la mia ricerca è stata infruttuosa finora, tra cui questo articolo di Wikipedia , e il "Compendio della Distribuzioni" del documento .

Se $X$ ha una distribuzione uniforme, significa che segue una distribuzione esponenziale?$e^X$

Allo stesso modo, se segue una distribuzione esponenziale, significa$Y$$ln(Y)$ segue una distribuzione uniforme?

Non è il caso che esponenziare una variabile casuale uniforme dia un esponenziale, né prendere il registro di una variabile casuale esponenziale produce una divisa.

Sia uniforme ( 0 , 1 ) e X = exp ( U ) .$U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Quindi .$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Questa non è una variabile esponenziale. Un calcolo simile mostra che il registro di un esponenziale non è uniforme.

Sia esponenziale standard, quindi F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$ .$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Let . Quindi F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$ .

Questa non è un'uniforme. (Infatti è una variabile casuale distribuita da Gumbel , quindi potresti chiamare la distribuzione di $-V$$V$ un 'Gumbel capovolto'.)

Tuttavia, in ogni caso possiamo vederlo più rapidamente semplicemente considerando i limiti delle variabili casuali. Se è uniforme (0,1) si trova tra 0 e 1, quindi X = exp ( U ) si trova tra 1 ed e ... quindi non è esponenziale. Allo stesso modo, per Y esponenziale, ln Y è attivo ( - ∞ , ∞ $U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$ , quindi non può essere uniforme (0,1), e in effetti nessuna altra uniforme.

Potremmo anche simulare, e di nuovo vederlo subito:

Innanzitutto, esponendo un'uniforme -

[la curva blu è la densità (1 / x sull'intervallo indicato) che abbiamo elaborato sopra ...]

In secondo luogo, il registro di un esponenziale:

Ciò che possiamo vedere è tutt'altro che uniforme! (Se differenziamo il cdf che abbiamo elaborato prima, che darebbe la densità, corrisponderà alla forma che vediamo qui.)

In effetti il metodo inverso di cdf indica che prendere il negativo del log di una variabile uniforme (0,1) dà una variabile esponenziale standard e, al contrario, esponere il negativo di una esponenziale standard dà un'uniforme. [Vedi anche trasformazione integrale di probabilità ]

Questo metodo ci dice che se , Y = F - 1 ( U ) . Se si applica l'inverso della CDF come una trasformazione su U , un'uniforme standard, la variabile casuale risultante ha funzione di distribuzione F Y .$U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

Se lasciamo essere uniforme (0,1), allora P ( U ≤ u ) = u . Sia Y = - ln ( 1 - U ) . (Nota che 1 - U è anche uniforme su (0,1), quindi potresti effettivamente lasciare Y = - ln $U$$P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$ , ma qui seguiamo il metodo inverso cdf per intero)

Quindi , che è il cdf di un esponenziale standard.$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[Questa proprietà della trasformazione inversa di cdf è il motivo per cui la trasformazione del è effettivamente richiesta per ottenere una distribuzione esponenziale, e la trasformazione integrale di probabilità è il motivo per cui l'esponenziale del negativo di un esponenziale negativo ritorna in uniforme.]$\log$

Ce l'hai quasi di nuovo davanti. Hai chiesto:

• "Se ha una distribuzione uniforme, significa che e X segue una distribuzione esponenziale?"$X$$e^X$

• "Allo stesso modo, se segue una distribuzione esponenziale, significa che ln ( Y ) segue una distribuzione uniforme?"$Y$$\ln(Y)$

Infatti

• $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• $Y$$1$$e^{-Y}$$[0,1]$

Più in generale potresti dire:

• $X$$[a,b]$$-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$$k$
• $Y$$k$$e^{-kY}$$[0,1]$$a+(b-a)e^{-kY}$$[a,b]$