La somma delle variabili casuali lognormali indipendenti appare lognormale?

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Sto cercando di capire perché la somma di due (o più) variabili casuali lognormali si avvicina a una distribuzione lognormale quando si aumenta il numero di osservazioni. Ho cercato online e non ho trovato risultati a riguardo.

Chiaramente se e sono variabili lognormali indipendenti, quindi per proprietà degli esponenti e variabili casuali gaussiane, anche è lognormale. Tuttavia, non vi è alcun motivo per suggerire che sia anche lognormale. $X$ $Y$ $X \times Y$ $X+Y$

TUTTAVIA

Se si generano due variabili casuali lognormali indipendenti e e si lascia e si ripete questo processo molte volte, la distribuzione di appare lognormale. Sembra persino avvicinarsi ad una distribuzione lognormale quando si aumenta il numero di osservazioni. $X$ $Y$ $Z=X+Y$ $Z$

Ad esempio: dopo aver generato 1 milione di coppie, la distribuzione del log naturale di Z viene fornita nell'istogramma seguente. Questo ricorda chiaramente una distribuzione normale, suggerendo che è effettivamente lognormale. $Z$

Qualcuno ha qualche intuizione o riferimento a testi che potrebbero essere utili per capirlo?

— polpetta
fonte

Assumi varianze uguali per

e

? Se simuli , il registro della somma non sembra più molto normale.

X

$X$

Y

$Y$ xx <- rlnorm(1e6,0,3); yy <- rlnorm(1e6,0,1)

— Stephan Kolassa,

Ho ipotizzato varianze uguali - ne proverò un'altra con varianza ineguale e vedrò con cosa finirò.

— Patty,

Con varianze di 2 e 3, ho ottenuto qualcosa che sembrava ancora un po 'normale, albiet con quello che sembra un piccolo minuscolo disallineamento.

— Patty,

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Guardare attraverso le domande precedenti può essere utile. Qui e qui ci sono documenti potenzialmente utili. Bell'aspetto!

— Stephan Kolassa,

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Questa lognormalità approssimativa delle somme di lognormali è una regola empirica ben nota; è menzionato in numerosi articoli e in numerosi post sul sito.

Un'approssimazione lognormale per una somma di lognormali abbinando i primi due momenti viene talvolta chiamata approssimazione di Fenton-Wilkinson.

Questo documento di Dufresne può essere utile (disponibile qui o qui ).

In passato a volte ho anche indicato persone al giornale di Mitchell

Mitchell, RL (1968),
"Permanenza della distribuzione log-normale".
J. Optical Society of America . 58: 1267-1272.

Ma questo è ora coperto dai riferimenti di Dufresne.

$n$

Ecco un istogramma di 1000 valori simulati, ciascuno il registro della somma di cinquantamila logidali iid:

Come vedi ... il registro è piuttosto distorto, quindi la somma non è molto vicina a quella normale.

$n$ $n$

* Non ho provato a capire quanti ma, a causa del modo in cui si comporta l'asimmetria delle somme (equivalentemente, medie), alcuni milioni saranno chiaramente insufficienti

$\mu=0$ $\sigma=4$

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4)))
hist(log(res),n=100)

$n=10^6$

— Glen_b -Restate Monica
fonte

Potete per favore aggiungere i parametri (o frammento di codice) usati per creare l'istogramma nella figura?

— altroware,

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μ

$\mu$

μ = 0

$\mu=0$

σ

$\sigma$

μ = 0

$\mu=0$

σ

$\sigma$

4

$4$

4

$4$

— Glen_b -Restate Monica

1

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4))); hist(log(res),n=100)

26.5

$26.5$

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Probabilmente è troppo tardi, ma ho trovato il seguente documento sulle somme delle distribuzioni lognormali , che copre l'argomento. Non è lognormale, ma qualcosa di completamente diverso e difficile con cui lavorare.

— Ivan Svetunkov
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Il saggio consigliato di Dufresne del 2009 e questo del 2004 insieme a questo utile documento coprono la storia delle approssimazioni della somma della distribuzione logaritmica e danno il risultato matematico della somma.

$\mu$ $\sigma$

Forse [questo documento] ( http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=6029348 ) ti dà in un caso particolare una sorta di teorema limite centrale per la somma dei log-normali ma c'è ancora un mancanza di generalità. Comunque l'esempio fornito da Glen_b non è proprio appropriato, perché è un caso in cui è possibile applicare facilmente il classico teorema del limite centrale, e ovviamente in questo caso la somma del log-normale è gaussiana.

$n\to \infty$

— Mimì
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Dici che nel mio esempio "puoi facilmente applicare il classico teorema del limite centrale" ma se capisci cosa mostra l'istogramma, chiaramente non puoi usare il CLT per sostenere che in questo caso si applica un'approssimazione normale a n = 50000; la somma è così corretta che il suo registro è ancora fortemente distorto. Il punto dell'esempio era che è persino troppo inclinato per approssimare un lognormale (o che l'istogramma sembrerebbe molto vicino al simmetrico). Un'approssimazione meno inclinata (come quella normale) sarebbe * peggio * /

— Glen_b -Restate Monica

Sono d'accordo, ma probabilmente nell'esempio o non viene raggiunta la convergenza numerica del campione (1000 prove sono troppo poche) o la convergenza statistica non viene raggiunta (50.000 addend sono troppo pochi), ma nel limite all'infinito la distribuzione dovrebbe essere gaussiano, dal momento che siamo in condizioni CLT, non è vero?

— Mimì,

I 1000 campioni sono più che sufficienti per discernere la forma della distribuzione della somma - il numero di campioni che prendiamo non altera la forma, quanto "chiaramente" la vediamo. Quella chiara asimmetria non scomparirà se prendiamo un campione più grande, diventerà solo più liscia. Sì, 50.000 sono troppo pochi perché la somma appaia normale - è così giusto che il registro sembra ancora molto distorto. Potrebbe richiedere molti milioni prima che appaia ragionevolmente normale. Sì, il CLT si applica sicuramente; è chiaro e la varianza è limitata, quindi i mezzi standardizzati devono eventualmente avvicinarsi alla normalità.

— Glen_b -Restate Monica

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La legge lognormale è ampiamente presente sui fenomeni fisici, per esempio sono necessarie somme di questo tipo di distribuzioni variabili per studiare qualsiasi comportamento di ridimensionamento di un sistema. Conosco questo articolo (molto lungo e molto forte, l'inizio può essere compreso se non si è specilisti!), "Effetti di ampia distribuzione in somme di variabili casuali lognormali" pubblicato nel 2003, (European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex Sistemi 32, 513) ed è disponibile https://arxiv.org/pdf/physics/0211065.pdf .

— vincitore
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