Distribuzioni su elenchi ordinati

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Supponiamo di avere un elenco ordinato di articoli

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

Sto cercando una famiglia di distribuzioni con supporto sull'elenco sopra governato da alcuni parametri alpha in modo che:

Per alpha = 0, assegna la probabilità 1 al primo elemento, a sopra e 0 al resto. Cioè, se campioniamo da questo elenco, con la sostituzione, otteniamo sempre a.
All'aumentare dell'alfa, assegniamo probabilità sempre più alte al resto dell'elenco, rispettando l'ordinamento dell'elenco, in seguito a ~ decadimento esponenziale.
Quando alpha = 1, assegniamo la stessa probabilità a tutti gli elementi nell'elenco, quindi il campionamento dall'elenco è simile all'ignorare il suo ordinamento.

Questo è molto simile alla distribuzione geometrica, ma ci sono alcune differenze notevoli:

La distribuzione geometrica della distribuzione è definita su tutti i numeri naturali. Nel mio caso sopra, l'elenco ha dimensioni fisse.
La distribuzione geometrica non è definita per alpha = 0.

distributions sampling discrete-data

— Amelio Vazquez-Reina
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Sembra che descrivi una famiglia di distribuzioni geometriche troncate. Tuttavia, ci sono infinite famiglie che si comportano qualitativamente come la tua descrizione. Più precisamente, quindi, sarebbe spiegare per cosa ti piacerebbe usare una tale famiglia.

— whuber

Grazie @whuber Sì, capisco che ci sono infinite distribuzioni che si adattano a questa descrizione. Qualcuno in particolare che ti viene in mente? Ho un sistema che attualmente seleziona il primo elemento di questo elenco (che rappresenta i punteggi), ma voglio randomizzare questa scelta (e parametrizzare questa randomizzazione). Non sto cercando un tipo particolare di "decadimento" basato sull'alfa. Fintanto che alpha = 0 non rappresenta alcuna randomizzazione, ovvero scegli il primo elemento, 1 rappresenta "pick any element", e gli alfa tra 0 e 1 rappresentano "qualcosa in mezzo" a questi due alfa, sarebbe abbastanza buono.

— Amelio Vazquez-Reina,

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$r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

$\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

$\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

$\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

$\alpha$

— josliber
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Bello. Questo è molto più intelligente di quanto potessi mai sperare di essere.

— Matthew Drury,

@Matthew Queste sono le distribuzioni geometriche troncate a cui ho fatto riferimento in precedenza.

— whuber

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Proverò a creare un esempio dai primi principi.

Prendiamo tre distribuzioni come i nostri mattoni:

P è la distribuzione che assegna una probabilità al primo elemento dell'elenco, zero a tutti gli altri.
$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U è la distribuzione uniforme sull'elenco.

Ora vogliamo prendere una famiglia di un parametro di combinazioni convesse positive di queste distribuzioni

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

Ecco un'opzione per la curva:

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

$(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— Matthew Drury
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