Due variabili casuali possono avere la stessa distribuzione, ma essere quasi sicuramente diverse?

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È possibile che due variabili casuali abbiano la stessa distribuzione e tuttavia siano quasi sicuramente diverse?

distributions probability

— HornetsFan
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Lascia e definisci . È facile dimostrare che . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Ma

P {ω : X (ω) = Y (ω)} = P {ω : X (ω) = 0, Y (ω) = 0} \leq P {ω : X (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Quindi, e sono diversi con probabilità uno. $X$ $Y$

— zen
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Questo stesso trucco funziona molto più in generale e anche nei casi che potrebbero "apparire" più semplici a qualcuno che incontra per primo l'argomento. Ad esempio, considera e dove è una variabile casuale di Bernoulli con probabilità di successo pari a .

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

— cardinale il

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Qualsiasi coppia di variabili casuali indipendenti e aventi la stessa distribuzione continua fornisce un controesempio. $X$ $Y$

In effetti, due variabili casuali aventi la stessa distribuzione non sono nemmeno necessariamente definite sullo stesso spazio di probabilità, quindi la domanda non ha senso in generale.

— Stéphane Laurent
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3

(+1) Il tuo secondo punto, in particolare, è importante e, una volta compreso, aiuta a chiarire le differenze tra i due concetti coinvolti.

— cardinale il

-1

Basta considerare e con con Borel o Lebesgue misura. Per entrambi la probabilità accumulata è e la distribuzione della probabilità è . Per la somma la distribuzione è una massa unitaria di Dirac in . $X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

— RRBaldino
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Benvenuti nel nostro sito. Potresti chiarire il senso in cui il tuo post risponde alla domanda in questo thread e mostrare in che modo differisce dalla risposta data dallo Zen (e dal commento di @Cardinal a quella risposta )?

— whuber