Identità delle funzioni generatrici di momenti

Esistono distribuzioni non identiche che hanno la stessa funzione generatrice di momenti?

distributions moments mgf

— kjetil b halvorsen
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Vedi Wikipedia in Funzione di generazione del momento # Proprietà importanti

— onestop

@onestop che risponde! se vuoi metterlo come risposta accetterò tit.

Sì.

In un esercizio, Stuart & Ord ( Kendall's Advanced Theory of Statistics , 5th Ed., Ex. 3.12) citano un risultato del 1918 di TJ Stieltjes (che apparentemente appare nel suo Oeuvres Completes , ):

Se è una strana funzione del periodo , dimostralo $f$ $\frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} x^{r} x^{- \log x} f (\log x) d x = 0$ $\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$
per tutti i valori integrali di . Quindi mostrare che le distribuzioni $r$

$d F = x^{- \log x} (1 - λ \sin (4 π \log x)) d x, 0 \leq x < \infty; 0 \leq | λ | \leq 1,$ $dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$
hanno gli stessi momenti qualunque sia il valore di . $\lambda$

(Nell'originale, appare solo come ; la restrizione sulla dimensione di deriva dal requisito di mantenere tutti i valori della funzione di densità non negativi.) L'esercizio è facile da risolvere tramite la sostituzione e completando il quadrato. Il caso è la distribuzione lognormale ben nota . $|\lambda|$ $\lambda$ $\lambda$ $dF$ $x = \exp(y)$ $\lambda=0$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

La curva blu corrisponde a , una distribuzione lognormale. Per la curva rossa, e per la curva d'oro, . $\lambda=0$ $\lambda = -1/4$ $\lambda = 1/2$

— whuber
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Ma la distribuzione lognormale non ha una funzione generatrice di momenti.

— onestop

Questo è un punto eccellente, onestop, e devo essere d'accordo. Ho preso la domanda nel senso di "avere lo stesso insieme di momenti" e avrei dovuto sottolineare quel cambiamento di interpretazione. Quando il mgf esiste come una funzione (e non solo come una serie di potenze formali), può essere invertito per produrre una densità unica a cui corrisponde.

— whuber

Non è vero che il lognormale non ha mgf, è solo che non è definito su un intervallo aperto contenente zero

— kjetil b halvorsen

Per la cronaca, sia @onestop che io stavamo discutendo implicitamente dell'esistenza di un mgf in un quartiere di $0.$ Questo senso è spesso assunto perché uno degli usi più basilari di un mgf è quello di espandere la sua serie MacLaurin (serie di Taylor intorno allo ) per calcolare o analizzare i momenti e questo richiede che la funzione sia definita in un quartiere, non solo a

0

$0$

0.

$0.$

— whuber

@whuber: Va bene, ma sembra essere compreso implicitamente così spesso che si dimentica che anche i mgf possono essere utili. Vedi anche (i collegamenti in) stats.stackexchange.com/questions/389846/…

— kjetil b halvorsen