Qual è la distribuzione dell'errore attorno ai dati di crescita logistica?

In ecologia, usiamo spesso l'equazione della crescita logistica:

o

dove è la capacità di carico (densità massima raggiunta), è la densità iniziale, è il tasso di crescita, è il tempo dall'iniziale.N 0 r $K$$N_0$$r$$t$

Il valore di ha un limite superiore morbido e un limite inferiore , con un limite inferiore forte a . ( K ) ( N 0 ) $N_t$$(K)$$(N_0)$$0$

Inoltre, nel mio contesto specifico, le misurazioni di vengono eseguite usando densità ottica o fluorescenza, entrambe con un massimo teorico e quindi un forte limite superiore.$N_t$

L'errore attorno a è quindi probabilmente meglio descritto da una distribuzione limitata.$N_t$

A piccoli valori di , la distribuzione ha probabilmente una forte inclinazione positiva, mentre a valori di avvicinano a K, la distribuzione ha probabilmente una forte inclinazione negativa. La distribuzione quindi probabilmente ha un parametro di forma che può essere collegato a .N t N $N_t$$N_t$$N_t$

La varianza può anche aumentare con .$N_t$

Ecco un esempio grafico

con

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

che può essere prodotto in r con

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• Quale sarebbe la distribuzione teorica dell'errore intorno a (in considerazione sia del modello che delle informazioni empiriche fornite)?$N_t$

• In che modo i parametri di questa distribuzione si relazionano al valore di o al tempo (se usando i parametri la modalità non può essere direttamente associata a ad es. normale)?N $N_t$$N_t$

• Questa distribuzione ha una funzione di densità implementata in ?$R$

Indicazioni esplorate finora:

• Supponendo la normalità intorno a (porta a stime superiori di )$N_t$$K$
• Registra una distribuzione normale attorno a , ma difficoltà ad adattare i parametri di forma alfa e beta$N_t/max$
• Distribuzione normale attorno alla logica di$N_t/max$

Come ha sottolineato Michael Chernick, la distribuzione beta scalata ha il senso migliore per questo. Tuttavia, per tutti gli scopi pratici, e mi aspettavo che non lo farai MAIottenere il modello alla perfezione, sarebbe meglio modellare semplicemente la media tramite regressione non lineare in base all'equazione della crescita logistica e concluderla con errori standard robusti all'eteroschedasticità. Metterlo nel contesto della massima verosimiglianza creerà un falso sentimento di grande accuratezza. Se la teoria ecologica produrrebbe una distribuzione, dovresti adattarla. Se la tua teoria produce solo la previsione per la media, dovresti attenerti a questa interpretazione e non provare a trovare qualcosa di più di questo, come una vera e propria distribuzione. (Il sistema di curve di Pearson era sicuramente stravagante 100 anni fa, ma i processi casuali non seguono le equazioni differenziali per produrre le curve di densità, che era la sua motivazione con queste curve di densità - piuttosto,$N_t$ stesso - sto pensando alla distribuzione di Poisson come esempio - e non sono del tutto sicuro che questo effetto verrà catturato dalla distribuzione beta scalata; al contrario, verrebbe compresso mentre tiri la media verso il suo limite superiore teorico, cosa che potresti dover fare. Se il dispositivo di misurazione ha un limite superiore delle misurazioni, ciò non significa che il processo effettivodeve avere un limite superiore; Preferirei dire che l'errore di misurazione introdotto dai tuoi dispositivi diventa critico man mano che il processo raggiunge quel limite superiore di essere misurato in modo ragionevolmente accurato. Se confondi la misurazione con il processo sottostante, dovresti riconoscerlo esplicitamente, ma immagino che tu abbia un interesse maggiore nel processo piuttosto che nel descrivere come funziona il tuo dispositivo. (Il processo sarà lì tra 10 anni; potrebbero essere disponibili nuovi dispositivi di misurazione, quindi il tuo lavoro diventerà obsoleto.)

@whuber ha ragione nel dire che non esiste alcuna relazione necessaria tra la parte strutturale di questo modello e la distribuzione dei termini di errore. Quindi non esiste una risposta alla tua domanda per la distribuzione teorica dell'errore.

Ciò non significa che non sia una buona domanda, solo che la risposta dovrà essere in gran parte empirica.

Sembra che tu stia supponendo che la casualità sia additiva. Non vedo alcun motivo (a parte la convenienza computazionale) perché ciò avvenga. Un'alternativa è che c'è un elemento casuale da qualche altra parte nel modello? Ad esempio, vedere quanto segue, dove la casualità viene introdotta come normalmente distribuita con la media di 1, varianza l'unica cosa da stimare. Non ho motivo di pensare che questa sia la cosa giusta da fare oltre a quella che produce risultati plausibili che sembrano corrispondere a ciò che vuoi vedere. Non so se sarebbe pratico usare qualcosa di simile come base per stimare un modello.

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))