Perché c'è -1 nella funzione di densità di distribuzione beta?

La distribuzione beta appare sotto due parametrizzazioni (o qui )

o quello che sembra essere usato più comunemente

Ma perché c'è esattamente " $-1$ " nella seconda formula?

La prima formulazione sembra intuitivamente corrispondere più direttamente alla distribuzione binomiale

ma "visto" dalla prospettiva di $p$ . Ciò è particolarmente chiaro nel modello beta-binomiale in cui $\alpha$ può essere inteso come un precedente numero di successi e $\beta$ è un numero precedente di fallimenti.

Quindi, perché esattamente la seconda forma ha guadagnato popolarità e qual è la logica alla base? Quali sono le conseguenze dell'utilizzo di una delle parametrizzazioni (ad es. Per la connessione con la distribuzione binomiale)?

Sarebbe bello se qualcuno potesse indicare ulteriormente le origini di tale scelta e gli argomenti iniziali per questo, ma non è una necessità per me.

Questa è una storia sui gradi di libertà e sui parametri statistici e sul perché è bello che i due abbiano una connessione semplice e diretta.

Storicamente, i termini " - 1 " sono comparsi negli studi di Eulero sulla funzione Beta. Stava usando quella parametrizzazione entro il 1763, e così anche Adrien-Marie Legendre: il loro uso stabilì la successiva convenzione matematica. Questo lavoro anticipa tutte le applicazioni statistiche note.$-1$

La moderna teoria matematica fornisce ampie indicazioni, attraverso la ricchezza di applicazioni in analisi, teoria dei numeri e geometria, che il " $-1$ " hanno effettivamente un significato. Ho delineato alcuni di questi motivi nei commenti alla domanda.

Di maggiore interesse è ciò che dovrebbe essere la "giusta" parametrizzazione statistica. Non è così chiaro e non deve essere lo stesso della convenzione matematica. Esiste un'enorme rete di famiglie di distribuzioni di probabilità comunemente usate, note e correlate. Pertanto, le convenzioni utilizzate per nominare (ovvero parametrizzare) una famiglia in genere implicano convenzioni correlate per denominare le famiglie correlate. Cambia una parametrizzazione e vorrai cambiarle tutte. Potremmo quindi considerare queste relazioni alla ricerca di indizi.

Poche persone non sarebbero d'accordo sul fatto che le famiglie di distribuzione più importanti derivino dalla famiglia Normale. Ricordiamo che una variabile casuale X è detto essere "Normalmente distribuita" quando ( X - μ ) / σ ha una densità di probabilità F ( x ) proporzionale a exp ( - x 2 / 2 ) . Quando σ = 1 e μ = 0 , si dice che X abbia a$X$$(X-\mu)/\sigma$$f(x)$$\exp(-x^2/2)$$\sigma=1$$\mu=0$$X$ distribuzione normale standard .

Molti set di dati x 1 , x 2 , … , x n sono studiati usando statistiche relativamente semplici che coinvolgono combinazioni razionali dei dati e bassi poteri (tipicamente quadrati). Quando quei dati sono modellati come campioni casuali da una distribuzione Normale - in modo che ogni x i sia vista come una realizzazione di una variabile Normale X i , tutte le X i condividono una distribuzione comune e sono indipendenti - le distribuzioni di tali statistiche sono determinati da quella distribuzione normale. Quelli che sorgono più spesso nella pratica sono$x_1, x_2, \ldots, x_n$$x_i$$X_i$$X_i$

1. t ν ,ladistribuzione t di Studentcon ν = n - 1 "gradi di libertà". Questa è la distribuzione della statistica t = ˉ $t_\nu$$t$$\nu = n-1$se ( X ) dove ˉ X =(X1+X2+⋯+Xn)/nmodella la media dei dati ese(X)=(1/

   $$t = \frac{\bar X}{\operatorname{se}(X)}$$ $\bar X = (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n$n ) √( X 2 1 + X 2 2 + ⋯ + X 2 n ) / ( n - 1 ) - ˉ X 2 è l'errore standard della media. La divisione pern-1mostra chendeve essere2o maggiore, da cuiνè un numero intero1o maggiore. La formula, sebbene apparentemente un po 'complicata, è la radice quadrata di una funzione razionale dei dati di secondo grado: è relativamente semplice.$\operatorname{se}(X) = (1/\sqrt{n})\sqrt{(X_1^2+X_2^2 + \cdots + X_n^2)/(n-1) - \bar X^2}$$n-1$$n$$2$$\nu$$1$

2. χ 2 ν ,la distribuzione χ 2 (chi-quadrato)con ν "gradi di libertà" (df). Questa è la distribuzione della somma dei quadrati di ν variabili normali standard indipendenti. La distribuzione della media dei quadrati di queste variabili sarà quindi unadistribuzione χ 2 ridimensionata di 1 / ν : farò riferimento a questa come unadistribuzione normal 2 "normalizzata".$\chi^2_\nu$$\chi^2$$\nu$$\nu$$\chi^2$$1/\nu$$\chi^2$

3. $F_{\nu_1, \nu_2}$, the $F$ ratio distribution with parameters $(\nu_1, \nu_2)$ is the ratio of two independent normalized $\chi^2$ distributions with $\nu_1$ and $\nu_2$ degrees of freedom.

Mathematical calculations show that all three of these distributions have densities. Importantly, the density of the $\chi^2_\nu$ distribution is proportional to the integrand in Euler's integral definition of the Gamma ($\Gamma$) function. Let's compare them:

This shows that twice a $\chi^2_\nu$ variable has a Gamma distribution with parameter $\nu/2$. The factor of one-half is bothersome enough, but subtracting $1$ would make the relationship much worse. This already supplies a compelling answer to the question: if we want the parameter of a $\chi^2$ distribution to count the number of squared Normal variables that produce it (up to a factor of $1/2$), then the exponent in its density function must be one less than half that count.

Why is the factor of $1/2$ less troublesome than a difference of $1$? The reason is that the factor will remain consistent when we add things up. If the sum of squares of $n$ independent standard Normals is proportional to a Gamma distribution with parameter $n$ (times some factor), then the sum of squares of $m$ independent standard Normals is proportional to a Gamma distribution with parameter $m$ (times the same factor), whence the sum of squares of all $n+m$ variables is proportional to a Gamma distribution with parameter $m+n$ (still times the same factor). The fact that adding the parameters so closely emulates adding the counts is very helpful.

If, however, we were to remove that pesky-looking "$-1$" from the mathematical formulas, these nice relationships would become more complicated. For example, if we changed the parameterization of Gamma distributions to refer to the actual power of $x$ in the formula, so that a $\chi^2_1$ distribution would be related to a "Gamma$(0)$" distribution (since the power of $x$ in its PDF is $1-1=0$), then the sum of three $\chi^2_1$ distributions would have to be called a "Gamma$(2)$" distribution. In short, the close additive relationship between degrees of freedom and the parameter in Gamma distributions would be lost by removing the $-1$ from the formula and absorbing it in the parameter.

Similarly, the probability function of an $F$ ratio distribution is closely related to Beta distributions. Indeed, when $Y$ has an $F$ ratio distribution, the distribution of $Z=\nu_1 Y/(\nu_1 Y + \nu_2)$ has a Beta$(\nu_1/2, \nu_2/2)$ distribution. Its density function is proportional to

Furthermore--taking these ideas full circle--the square of a Student $t$ distribution with $\nu$ d.f. has an $F$ ratio distribution with parameters $(1,\nu)$. Once more it is apparent that keeping the conventional parameterization maintains a clear relationship with the underlying counts that contribute to the degrees of freedom.

From a statistical point of view, then, it would be most natural and simplest to use a variation of the conventional mathematical parameterizations of $\Gamma$ and Beta distributions: we should prefer calling a $\Gamma(\alpha)$ distribution a "$\Gamma(2\alpha)$ distribution" and the Beta$(\alpha, \beta)$ distribution ought to be called a "Beta$(2\alpha, 2\beta)$ distribution." In fact, we have already done that: this is precisely why we continue to use the names "Chi-squared" and "$F$ Ratio" distribution instead of "Gamma" and "Beta". Regardless, in no case would we want to remove the "$-1$" terms that appear in the mathematical formulas for their densities. If we did that, we would lose the direct connection between the parameters in the densities and the data counts with which they are associated: we would always be off by one.

The notation is misleading you. There is a "hidden $-1$" in your formula $(1)$, because in $(1)$, $\alpha$ and $\beta$ must be bigger than $-1$ (the second link you provided in your question says this explicitly). The $\alpha$'s and $\beta$'s in the two formulas are not the same parameters; they have different ranges: in $(1)$, $\alpha,\beta>-1$, and in $(2)$, $\alpha,\beta>0$. These ranges for $\alpha$ and $\beta$ are necessary to guarantee that the integral of the density doesn't diverge. To see this, consider in $(1)$ the case $\alpha=-1$ (or less) and $\beta=0$, then try to integrate the (kernel of the) density between $0$ and $1$. Equivalently, try the same in $(2)$ for $\alpha=0$ (or less) and $\beta=1$.

For me, the existence of -1 in the exponent is related with the develpment of the Gamma function. The motivation of the Gamma function is to find a smooth curve to connect the points of a factorial $x!$. Since it is not possible to compute $x!$ directly if $x$ is not integer, the idea was to find a function for any $x \geq 0$ that satisfies the recurrence relation defined by the factorial, namely

$f(1)=1\\ f(x+1)=x \cdot f(x).$

Solution was by means of the convergence of an integral. For the function defined as

$f(x+1) = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt,$

integration by parts provides the following:

$\begin{align} f(x+1) & = \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x}e^{-x} dt \\ & = \Big[-t^{x}e^{-x} \Big]^{\infty}_{0} + \displaystyle\int_{0}^{\infty} x\cdot t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= \lim_{x \to \infty} (-t^{x}e^{-x}) - 0 \cdot e^{-0} + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= 0 - 0 + x\cdot \displaystyle\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-x} dt \\ &= x \cdot f(x) . \end{align}$

So, the function above satisfies this property, and the -1 in the exponent derives from the procedure of integration by parts. See the Wikipedia article https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function .

Edit: I apologise if my post is not fully clear; I am just trying to point that, in my idea, the existence of -1 in the beta distribution comes from the generalisation of the factorial by means of the Gamma function. There are two conditions: $f(1)=1$ and $f(x+1)=x \cdot f(x)$. We have $\Gamma(x) = (x-1)!$, therefore it satisfies $\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x) = x \cdot (x-1)! = x!$. In addition, we have $\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1$. As for the beta distribution with parameters $\alpha, \beta$, generalisation of the Binomial coefficient is $\dfrac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \cdot \Gamma(\beta)} = \dfrac{(\alpha + \beta - 1)!}{(\alpha-1)! \cdot (\beta-1)!}$. There we have the -1 in the denominator, for both parameters.