Intervalli di previsione e tolleranza

Ho un paio di domande per gli intervalli di previsione e tolleranza.

Concordiamo prima sulla definizione degli intervalli di tolleranza: ci viene dato un livello di confidenza, diciamo il 90%, la percentuale della popolazione da catturare, diciamo il 99% e una dimensione del campione, diciamo 20. La distribuzione della probabilità è nota, diciamo normale per comodità. Ora, dati i tre numeri precedenti (90%, 99% e 20) e il fatto che la distribuzione sottostante è normale, possiamo calcolare il numero di tolleranza . Dato un campione con media e deviazione standard , l'intervallo di tolleranza è \ bar {x} \ pm ks . Se questo intervallo di tolleranza cattura il 99% della popolazione, il campione (x_1, x_2, \ ldots, x_ {20}) viene chiamato successo$k$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$\bar{x}$$s$$\bar{x}\pm ks$$(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$e il requisito è che il 90% dei campioni abbia successo .

Commento: il 90% è la probabilità a priori che un campione abbia successo. Il 99% è la probabilità condizionale che una futura osservazione sarà nell'intervallo di tolleranza, dato che il campione è un successo.

Le mie domande: possiamo vedere gli intervalli di previsione come intervalli di tolleranza? Guardando sul web ho avuto risposte contrastanti su questo, per non parlare del fatto che nessuno ha veramente definito attentamente gli intervalli di previsione. Quindi, se hai una definizione precisa dell'intervallo di previsione (o un riferimento), lo apprezzerei.

Quello che ho capito è che un intervallo di previsione del 99%, ad esempio, non acquisisce il 99% di tutti i valori futuri per tutti i campioni. Questo sarebbe lo stesso di un intervallo di tolleranza che cattura il 99% della popolazione con probabilità del 100%.

Nelle definizioni che ho trovato per un intervallo di previsione del 90%, il 90% è la probabilità a priori dato un campione, diciamo (la dimensione è fissa) e una singola osservazione futura , che sarà nell'intervallo di predizione. Quindi, sembra che sia il campione che il valore futuro siano entrambi dati contemporaneamente, in contrasto con l'intervallo di tolleranza, in cui il campione è dato e con una certa probabilità è un successo , a condizione che il campione sia un successoy $(x_1,x_2,\ldots,x_{20})$$y$$y$, viene dato un valore futuro e con una certa probabilità rientra nell'intervallo di tolleranza. Non sono sicuro che la definizione sopra dell'intervallo di previsione sia corretta o meno, ma sembra controintuitiva (almeno).

Qualsiasi aiuto?

Le tue definizioni sembrano essere corrette.

Il libro da consultare su questi argomenti è Statistical Intervals (Gerald Hahn & William Meeker), 1991. Cito:

Un intervallo di previsione per una singola osservazione futura è un intervallo che, con un determinato grado di confidenza, conterrà l'osservazione successiva (o qualche altra prespecificata) selezionata casualmente da una popolazione.

[A] intervallo di tolleranza è un intervallo che si può pretendere di contenere almeno una determinata proporzione, p , della popolazione con un determinato grado di confidenza, .$100(1-\alpha)\%$

Ecco alcune riformulazioni nella terminologia matematica standard. Lascia che i dati siano considerati una realizzazione di variabili casuali indipendenti X = ( X 1 , … , X n ) con funzione di distribuzione cumulativa comune F θ . ( θ appare come promemoria che F può essere sconosciuto ma si presume che si trovi in ​​un determinato insieme di distribuzioni F θ | θ ∈ Θ ). Lascia X $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$$\mathbf{X}=(X_1,\ldots,X_n)$$F_\theta$$\theta$$F$${F_\theta \vert \theta \in \Theta}$$X_0$essere un'altra variabile casuale con la stessa distribuzione e indipendente dalle prime n variabili.$F_\theta$$n$

1. Un intervallo di predizione (per una singola osservazione futura), dato dagli endpoint , ha la proprietà di definizione che$[l(\mathbf{x}), u(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta(X_0 \in [l(\mathbf{X}), u(\mathbf{X})])\}= 100(1-\alpha)\%.$$

   In particolare, riferisce alla distribuzione delle variabili n + 1 di ( X 0 , X 1 , … , X n ) determinata dalla legge F θ . Nota l'assenza di eventuali probabilità condizionate: questa è una probabilità congiunta completa. Si noti, inoltre, l'assenza di qualsiasi riferimento a una sequenza temporale: X 0 molto bene può essere osservato nel tempo prima degli altri valori. Non importa.${\Pr}_\theta$$n+1$$(X_0, X_1, \ldots, X_n)$$F_\theta$$X_0$

   Non sono sicuro di quale aspetto (i) potrebbe essere "controintuitivo". Se pensiamo di selezionare una procedura statistica come attività da svolgere prima di raccogliere dati, allora questa è una formulazione naturale e ragionevole di un processo in due fasi pianificato, perché entrambi i dati ( ) e il "valore futuro" X 0 deve essere modellato come casuale.$X_i, i=1,\ldots,n$$X_0$

2. Un intervallo di tolleranza, dato dagli endpoint , ha la proprietà di definizione che$(L(\mathbf{x}), U(\mathbf{x})]$

   $$\inf_\theta\{{\Pr}_\theta\left(F_\theta(U(\mathbf{X})) - F_\theta(L(\mathbf{X})\right) \ge p)\} = 100(1-\alpha)\%.$$

   Nota l'assenza di qualsiasi riferimento a : non gioca alcun ruolo.$X_0$

Quando è l'insieme delle distribuzioni normali, esistono intervalli di predizione del modulo$\{F_\theta\}$

( è la media del campione e s è la deviazione standard del campione). I valori della funzione k , che Hahn e Meeker tabulano, non dipendono dai dati x . Esistono altre procedure di intervallo di previsione, anche nel caso normale: queste non sono le uniche.$\bar{x}$$s$$k$$\mathbf{x}$

Allo stesso modo, esistono intervalli di tolleranza del modulo

Esistono altre procedure di intervallo di tolleranza : queste non sono le uniche.

Notando la somiglianza tra queste coppie di formule, possiamo risolvere l'equazione

Ciò consente di reinterpretare un intervallo di previsione come intervallo di tolleranza (in molti modi diversi variando e p ) o di reinterpretare un intervallo di tolleranza come intervallo di previsione (solo ora α di solito è determinato in modo univoco da α ′ e p ). Questa potrebbe essere un'origine della confusione.$\alpha'$$p$$\alpha$$\alpha'$$p$

$K(\alpha,p)$