La distribuzione di Poisson è stabile e ci sono formule di inversione per l'MGF?

Innanzitutto, ho una domanda sul fatto che la distribuzione di Poisson sia "stabile" o meno. In modo molto ingenuo (e non sono troppo sicuro delle distribuzioni "stabili"), ho elaborato la distribuzione di una combinazione lineare di camper distribuiti da Poisson, usando il prodotto della MGF. Sembra che ottenga un altro Poisson, con un parametro uguale alla combinazione lineare dei parametri dei singoli camper. Quindi concludo che Poisson è "stabile". Cosa mi sto perdendo?

Secondo, ci sono formule di inversione per MGF come ce ne sono per la funzione caratteristica?

distributions poisson-distribution mgf

— Franco
fonte

È chiuso sotto somme (indipendenti) , ma non combinazioni arbitrarie lineari. Se includi il tuo lavoro, sospetto che finirai per capire perché nel processo; e, in caso contrario, qualcuno sarà in grado di segnalarlo. Sì, ci sono alcuni analoghi di inversione a quello delle funzioni caratteristiche. Cosa sai della trasformata di Laplace e dell'integrazione del profilo di Bromwich?

— cardinale

OK, torno al tavolo da disegno. Ho l'MGF dell'i-esimo Poisson come: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Quindi il prodotto di n Poisson MGF mi dà: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) e prendo il nuovo lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Ora ho paura di sembrare stupido per aver fatto un errore evidente. - Conosco la trasformazione di Laplace e l'integrazione dei contorni in generale, ma non l'integrazione dei contorni di Bromwish. - Consiglieresti di lavorare con i CF piuttosto che con gli MGF in generale? Sembra più potente.

— Frank,

Qual è il nel tuo commento? Inoltre, circonda il tuo matematico-LaTeX con segni di dollaro per farlo funzionare (usando \ exp per far uscire "exp" nel modo giusto, e \ lambda per creare un , \ sum for

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

, ecc.)

\sum

$\sum$

— jbowman

Sì, non sono molto bravo in LaTex, ma qui va. Quindi, la mia combinazione lineare di camper è:

, e il prodotto dei loro MGF è:

, se sono corretta, se i camper sono distribuiti come

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$ . Avevo usato la stessa t per tutti i camper, ma ho bisogno di usare

t_{i}

$t_{i}$

— Frank,

L'errore è che l'MGF di

e non

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume,

Risposte:

Combinazioni lineari di variabili casuali di Poisson

Come hai calcolato, la funzione generatrice del momento della distribuzione di Poisson con velocità è $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

$X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

$X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversione di funzioni generatrici di momenti

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

L'inversione può quindi essere realizzata tramite l' integrale di Bromwich o la formula di inversione di Post . Un'interpretazione probabilistica di quest'ultima può essere trovata come un esercizio in diversi testi di probabilità classici.

Sebbene non sia direttamente correlato, potresti essere interessato anche alla seguente nota.

JH Curtiss (1942), Una nota sulla teoria delle funzioni generatrici del momento , Ann. Matematica. Statistica. , vol. 13, n. 4, pagg. 430–433.

La teoria associata è più comunemente sviluppata per le funzioni caratteristiche poiché queste sono completamente generali: esistono per tutte le distribuzioni senza supporto o limitazioni del momento.

— cardinale
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(+1) La formula di inversione è puramente teorica o è effettivamente utilizzata a volte?

— gui11aume,

@ gui11aume: è usato in alcuni punti; ma gli esempi che potresti trovare comunemente in un testo sono di solito esattamente gli esempi per i quali non ne hai bisogno. :)

— cardinale

Quindi, presumibilmente è più facile lavorare con i CF che con i MGF? Gli MGF non esistono sempre, giusto? Perché preoccuparsi di loro?

— Frank,

@Frank: pedagogicamente sono più facili da presentare agli studenti che conoscono il calcolo, ma hanno un background scarso o nullo in variabili complesse. Quando esistono, hanno proprietà del tutto analoghe a quelle dei CF. Giocano ruoli importanti in alcune parti della teoria della probabilità e delle statistiche teoriche, ad esempio, grandi deviazioni e inclinazione esponenziale.

— cardinale

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

Non sono a conoscenza delle formule di inversione per MGF (ma sembra essere @cardinal).

— gui11aume
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(+1) Perché mi piacciono le semplici prove illustrative e controesempi che mettono immediatamente in primo piano il nocciolo della questione.

— cardinale

Ho una domanda sulla terminologia. Nelle statistiche che ho studiato, le distribuzioni stabili erano quelle che erano limiti delle distribuzioni che soddisfacevano una condizione di convergenza chiamata legge stabile. Queste sono distribuzioni non normali continue. Sono una distribuzione per i limiti di una Z media normalizzata ma il teorema del limite centrale non si applica a Z a causa del comportamento della coda della distribuzione della popolazione. In realtà il teorema del limite centrale può appartenere alle leggi stabili se un determinato parametro alpha = 2.

— Michael R. Chernick,

Ciò che tu chiami stabile qui è più vicino alle somme che mi sembrano più simili al termine infinitamente divisibile. In quali campi viene usato il termine stabile per questo? Viene utilizzato in probabilità e statistica?

— Michael R. Chernick,

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$