Qual è la differenza tra la funzione generatrice di momenti e la funzione generatrice di probabilità?

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Sono confuso tra i due termini "funzione generatrice di probabilità" e "funzione generatrice di momenti". In che modo differiscono questi termini?

— manashi
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La funzione di generazione della probabilità viene solitamente utilizzata per variabili casuali (non negative) con valore intero, ma in realtà è solo un riconfezionamento della funzione di generazione del momento. Quindi i due contengono le stesse informazioni.

Sia una variabile casuale non negativa. Quindi (vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) la funzione di generazione della probabilità è definita come e la funzione di generazione del momento è Ora definisci il modo che . Quindi $X$

G (z) = E z^{X}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$

M_{X} (t) = E e^{t X}

$M_X(t) = \E e^{t X}$

\log z = t

$\log z=t$

e^{t} = z

$e^t=z$

Quindi, per concludere, la relazione è semplice:

G (z) = E z^{X} = E (e^{t})^{X} = E e^{t X} = M_{X} (t) = M_{X} (\log z)

$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

EDIT

$G(z) = M_X(\log z)$ $z$

G (z) = E z^{X} = \int_{0}^{\infty} z^{x} e^{- x} d x = \dots = \frac{1}{1 - \log z}

$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$

— kjetil b halvorsen
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(+1) Anche se ho una risposta in competizione.

— Carl,

(+1) Di nuovo. Strano, immagino che se modifico, posso votare di nuovo.

— Carl

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Definiamo prima entrambi e poi specificiamo la differenza.

1) Nella teoria della probabilità e nella statistica, la funzione generatrice del momento (mgf) di una variabile casuale a valore reale è una specifica alternativa della sua distribuzione di probabilità.

2) Nella teoria della probabilità , la funzione generatrice di probabilità (pgf) di una variabile casuale discreta è una rappresentazione in serie di potenze (la funzione generatrice) della funzione di massa di probabilità della variabile casuale.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Come sottolinea @kjetilbhalvorsen, il pgf si applica alle variabili casuali non negative piuttosto che discrete. Pertanto, l'attuale voce di Wikipedia nella funzione di generazione della probabilità ha un errore di omissione e dovrebbe essere migliorata.

— Carl
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Il pgf e il mgf della distribuzione di Poisson, sebbene strettamente correlati (come spiegato nella risposta pubblicata da Kjetil Halvorsen), non sono sicuramente "uguali".

— whuber

@whuber D'accordo, ho avuto gli stessi problemi con la risposta di Kjetil Halvorsen, vale a dire

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$ , which is true, except when it is false.

— Carl

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@whuber See my edit to my answer (will post in few minutes) for an answer to this implicit question.

— kjetil b halvorsen