Qual è la differenza tra la funzione generatrice di momenti e la funzione generatrice di probabilità?


Risposte:


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La funzione di generazione della probabilità viene solitamente utilizzata per variabili casuali (non negative) con valore intero, ma in realtà è solo un riconfezionamento della funzione di generazione del momento. Quindi i due contengono le stesse informazioni.

Sia una variabile casuale non negativa. Quindi (vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) la funzione di generazione della probabilità è definita come G ( z ) = E z X e la funzione di generazione del momento è M X ( t ) = E e t X Ora definisci il registro z = t in modo che e t = z . Quindi G ( z ) = E z X = EX

G(z)=EzX
MX(t)=EetX
logz=tet=z Quindi, per concludere, la relazione è semplice: G ( z ) = M X ( log z )
G(z)=EzX=E(et)X=EetX=MX(t)=MX(logz)
G(z)=MX(logz)
EDIT   

G(z)=MX(logz)z

G(z)=EzX=0zxexdx==11logz

1
(+1) Anche se ho una risposta in competizione.
Carl,

(+1) Di nuovo. Strano, immagino che se modifico, posso votare di nuovo.
Carl

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Definiamo prima entrambi e poi specificiamo la differenza.

1) Nella teoria della probabilità e nella statistica, la funzione generatrice del momento (mgf) di una variabile casuale a valore reale è una specifica alternativa della sua distribuzione di probabilità.

2) Nella teoria della probabilità , la funzione generatrice di probabilità (pgf) di una variabile casuale discreta è una rappresentazione in serie di potenze (la funzione generatrice) della funzione di massa di probabilità della variabile casuale.

eλ(z1)

Edit

Come sottolinea @kjetilbhalvorsen, il pgf si applica alle variabili casuali non negative piuttosto che discrete. Pertanto, l'attuale voce di Wikipedia nella funzione di generazione della probabilità ha un errore di omissione e dovrebbe essere migliorata.


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Il pgf e il mgf della distribuzione di Poisson, sebbene strettamente correlati (come spiegato nella risposta pubblicata da Kjetil Halvorsen), non sono sicuramente "uguali".
whuber

@whuber D'accordo, ho avuto gli stessi problemi con la risposta di Kjetil Halvorsen, vale a dire G(z)=MX(logz), which is true, except when it is false.
Carl

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@whuber See my edit to my answer (will post in few minutes) for an answer to this implicit question.
kjetil b halvorsen
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