Esiste una generalizzazione della traccia di Pillai e della traccia di Hotelling-Lawley?

Nella cornice della regressione multipla multivariata (regressore vettoriale e regressore), i quattro test principali per l'ipotesi generale (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley e Roy's Largest Root) dipendono tutti dagli autovalori della matrice , dove ed sono le matrici di variazione "spiegate" e "totali". $H E^{-1}$ $H$ $E$

Avevo notato che le statistiche di Pillai e Hotelling-Lawley potevano entrambe essere espresse come rispettivamente per . Sto guardando un'applicazione in cui la distribuzione di questa traccia, definita per gli analoghi di popolazione di ed , è interessante per il caso . (errori di modulo nel mio lavoro.) Sono curioso di sapere se esiste qualche unificazione nota delle statistiche campione per il generale , o qualche altra generalizzazione che catturi due o più dei quattro test classici. Mi rendo conto che per non è uguale a o

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , il numeratore non sembra più un Chi-quadrato sotto il nulla, quindi un'approssimazione F centrale sembra discutibile, quindi forse questo è un vicolo cieco.

Spero che ci sia stata qualche ricerca sulla distribuzione di sotto lo zero ( cioè la vera matrice dei coefficienti di regressione è tutta zero) e sotto l'alternativa. Sono particolarmente interessato al caso , ma se c'è un lavoro sul caso generale , potrei, ovviamente, usarlo. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
fonte

Aspetta, è la variazione ' ' spiegata ed è la variazione 'T'otale? Sto solo controllando i miei mnemonici.

H

$H$

E

$E$

— cardinale il

@cardinale, è corretto. Quando è il minimo quadratico multivariato adatto ai coefficienti di correlazione, abbiamo e Una panoramica (letteralmente) di grande immagine di Michael Friendly mi è stata molto utile: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Grazie! Darò un occhiata. (A proposito, stavo solo scherzando in base alla scelta delle lettere, 'h' per 'spiegato' ed 'e' per 'totale'.) Interessante domanda, comunque; (+1) da parte mia.

— cardinale il

@cardinale Ero insufficientemente caffeinato per notare la battuta. Sì, i mnemonici sono cattivi, ma la scelta di ed (e ) è piuttosto standard.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— Shabbychef,

Lo scherzo era abbastanza grave da richiedere molta caffeina.

— cardinale il

Immagino che generalizzazioni produttive verrebbero fuori dalle osservazioni che

alcuni di questi test sono norme del vettore , quindi la traccia di Hotelling-Lawley è la norma , e la radice più grande di Roy è la norma , . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
alcuni di questi test possono essere una norma della matrice , ad esempio, la radice più grande di Roy è la norma spettrale, o , . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
alcuni dei test possono essere in forma di entropia generalizzata , ad esempio la traccia di Hotelling-Lawley è GE (1), la radice più grande di Roy è GE ( ) e Wilks è GE (-1) su , fino a una trasformazione monotona ciascuno. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Quando si intrattengono altre norme o altri parametri di entropia generalizzata, si possono ottenere altre statistiche che potrebbero essere significative. Dubito che qualcuno di loro produrrebbe il tuo , comunque. $\psi_2$

— Stask
fonte

Credo che abbiamo , dove sono gli autovalori di . Ma questo non sembra portarmi da nessuna parte. Immagino di non sapere abbastanza sulla distribuzione delle somme degli autovalori ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— Shabbychef,