Ricorda che eX≥ 1 + x
E[ eY] = eE( Y)E[ eY- E( Y)] ≥ eE( Y)E[ 1 + Y- E( Y) ]= eE( Y)
Quindi eE( Y)≤ E[ eY]
Adesso lascia , abbiamo:Y= lnX
eE( lnX)≤ E[ elnX] =E( X)
ora prendi i registri di entrambi i lati
E[ ln( X) ] ≤ ln[ E( X) ]
In alternativa:
lnX= lnX- lnμ + lnμ (dove )μ = E( X)
= ln( X/ μ)+lnμ
= ln[ X- μμ+ 1 ] + lnμ
≤ X- μμ+ lnμln( t + 1 ) ≤ t
Ora prendi le aspettative di entrambe le parti:
E[ ln( X) ] ≤ lnμ
Un'illustrazione (che mostra la connessione alla disuguaglianza di Jensen):
( Qui i ruoli di X e Y sono scambiati in modo da corrispondere agli assi della trama; una migliore pianificazione avrebbe scambiato i loro ruoli sopra in modo che la trama corrispondesse più direttamente all'algebra. )
Le linee colorate continue rappresentano i mezzi su ciascun asse.
XYY