Perché ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Abbiamo a che fare con la distribuzione lognormale in un corso di finanza e il mio libro di testo afferma semplicemente che questo è vero, che trovo frustrante poiché il mio background in matematica non è molto forte ma voglio l'intuizione. Qualcuno può mostrarmi perché questo è il caso?

Ricorda che $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Quindi $e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Adesso lascia , abbiamo:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

ora prendi i registri di entrambi i lati

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

In alternativa:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (dove )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$$\ln(t+1)\leq t$

Ora prendi le aspettative di entrambe le parti:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Un'illustrazione (che mostra la connessione alla disuguaglianza di Jensen):

( Qui i ruoli di X e Y sono scambiati in modo da corrispondere agli assi della trama; una migliore pianificazione avrebbe scambiato i loro ruoli sopra in modo che la trama corrispondesse più direttamente all'algebra. )

Le linee colorate continue rappresentano i mezzi su ciascun asse.

$X$$Y$$Y$