La differenza tra due camper simmetrici ha anche una distribuzione simmetrica?

Se ho due diverse distribuzioni simmetriche (rispetto alla mediana) e , la differenza anche una distribuzione simmetrica (rispetto alla mediana)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median

— Alessio93
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La distribuzione di non è una "differenza tra due distribuzioni", è la distribuzione della differenza tra variabili casuali distribuite simmetricamente; La differenza nelle distribuzioni sarebbe ; che non è una distribuzione; allo stesso modo una differenza di pdf non sarebbe un pdf ... modifica la descrizione del tuo titolo

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: ho modificato il titolo del PO per dirlo, ma in futuro vai avanti e modificalo tu stesso. Colloquialmente, penso che tutti abbiano capito cosa significasse l'OP.

— smci,

@smci In realtà, ho scelto di chiedere all'OP di farlo piuttosto che farlo da solo per un motivo (se controlli il mio profilo vedrai che ho modificato oltre 3100 post - Comprendo le regole generali sulla modifica). Grazie per l'aiuto, però. Penso anche che un po 'più di attenzione nell'esprimere ciò che si intende significherebbe risolvere una parte sostanziale delle domande dei principianti sul posto; e penso che la chiarezza sia particolarmente importante in un titolo.

— Glen_b

Risposte:

Let e è simmetrica attorno PDF mediane e rispettivamente. Finché e sono indipendenti, la distribuzione di probabilità della differenza è la convoluzione di e , cioè $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

dove è semplicemente il PDF oltre con la mediana $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Intuitivamente, ci aspetteremmo che il risultato sia simmetrico rispetto quindi proviamo. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Nella seconda riga ho usato la sostituzione nell'integrale. Nella terza riga, ho usato sia la simmetria di su che di suCiò dimostra che è simmetrico su se è simmetrico su e è simmetrico su $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Se e non fossero indipendenti e e fossero semplicemente distribuzioni marginali, allora avremmo bisogno di conoscere la distribuzione congiunta,Quindi, nell'integrale, dovremmo sostituire conTuttavia, solo perché le distribuzioni marginali sono simmetriche, ciò non implica che la distribuzione congiunta sia simmetrica su ciascuno dei suoi argomenti. Quindi non puoi applicare ragionamenti simili. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

— Bridgeburners
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Questo sta a dipendere dal rapporto tra ed , ecco un esempio bancone dove ed sono simmetriche, ma non è: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Quindi qui la mediana di non è la stessa della differenza nelle mediane e non è simmetrica. $x-y$ $x-y$

modificare

Questo può essere più chiaro nella notazione di @ whuber:

Considera la distribuzione uniforme discreta in cui e sono correlati in modo tale che puoi selezionare solo una delle seguenti coppie: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Se insisti a pensare in una distribuzione congiunta completa, considera il caso in cui può assumere uno qualsiasi dei valori e può assumere i valori e la combinazione può assumere una delle 25 coppie. Ma la probabilità delle coppie date sopra è del 16% ciascuna e tutte le altre coppie possibili hanno probabilità dell'1% ciascuna. La distribuzione marginale di sarà uniforme discreta e ciascun valore ha una probabilità del 20% e quindi simmetrico rispetto alla mediana di 0, lo stesso vale per . Prendi un grande campione dalla distribuzione congiunta e guarda solo solo $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ e vedrai una distribuzione marginale uniforme (simmetrica), ma prendi la differenza e il risultato non sarà simmetrico. $x-y$

— Greg Snow
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Non capisco affatto questo esempio. Se può essere uguale a 4 e può essere uguale ad esempio a 1, allora dovrebbe essere in grado di essere 3, ma non si elenca questa possibilità. Forse fraintendo il tuo esempio; quali sono questi tre vettori?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

— Amoeba,

x

$x$ ed non sono indipendenti nel suo esempio. Pensare di , , e come funzioni di alcuni variabile casuale quali indici in ciascun vettore. Quindi se , , e

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Moormanly,

Se state pensando di e di non essere indipendente, allora siete veramente guardando come bivariata variabile casuale. Pertanto, ciò che dimostrate è che i margini simmetrici non implicano che la distribuzione articolare sia simmetrica. Questa è una bella osservazione, ma la notazione in questa risposta è confusa. Potrebbe essere più chiaro descrivere i dati in una notazione bivariata come .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

— whuber

@amoeba, dipende dalla relazione tra e , se sono indipendenti o debolmente dipendenti, allora sì, potrebbe esserci un caso come dici tu, ma il mio esempio è la forte dipendenza tra le 2 variabili. Se X era altezza in pollici e y altezza in centimetri, allora è un valore possibile e è un valore possibile, ma non allo stesso tempo per lo stesso oggetto.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

— Greg Snow,

I commenti e la modifica hanno chiarito cosa intendevi. Grazie.

— Amoeba,

Dovrai assumere l'indipendenza tra X e Y affinché ciò sia valido in generale. Il risultato segue direttamente poiché la distribuzione di è una convoluzione di funzioni simmetriche, anch'essa simmetrica. $X-Y$

— Moormanly
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