Operazioni trigonometriche su deviazioni standard

Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di normali variabili casuali sono ben definite, ma per quanto riguarda le operazioni trigonometriche?

Ad esempio, supponiamo che sto cercando di trovare l'angolo di un cuneo triangolare (modellato come un triangolo ad angolo retto) con i due cateti aventi dimensioni e , entrambi descritti come distribuzioni normali. $d_1$ $d_2$

Sia l'intuizione e la simulazione mi dicono che la distribuzione risultante è normale, con media . Ma c'è un modo per calcolare la distribuzione dell'angolo risultante? Riferimenti su dove troverei la risposta? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(Per un po 'di contesto, sto lavorando sulla tolleranza statistica delle parti meccaniche. Il mio primo impulso sarebbe semplicemente simulare l'intero processo, verificare se il risultato finale è ragionevolmente normale e calcolare la deviazione standard. Ma mi chiedo se potrebbe esserci un approccio analitico più pulito.)

— Bossykena
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Potresti confermare che (a) d1 e d2 sono le lunghezze laterali (e non gli angoli); (b) che stai assumendo che l'angolo tra loro sia un angolo retto (altrimenti la formula atan è sospetta); e (c) che sei interessato alla distribuzione di uno degli altri angoli di questo triangolo rettangolo? Inoltre, presumibilmente, la DS di ogni distribuzione della lunghezza è molto più piccola delle sue aspettative perché il triangolo non dovrebbe avere alcuna probabilità apprezzabile di una lunghezza laterale negativa :-).

— whuber

Exact. Ho riformulato il problema per renderlo un po 'più chiaro. E sì, la SD sarà piccola rispetto alle dimensioni.

— Bossykena,

Utilizzando le formule per la moltiplicazione e l'aggiunta, puoi provare l'espansione di Taylor.

Grazie per entrambe le risposte eccellenti, che (per quanto posso dire con la mia competenza in statistiche limitate) sono sia intuitive che solide.

— Bossykena,

Risposte:

In questa interpretazione, il triangolo è un triangolo rettangolo di lunghezze laterali e distribuito binormalmente con aspettative e , deviazioni standard e e correlazione . Cerchiamo la distribuzione di . A tal fine, standardizzare e modo che $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

con e variate normali standard con correlazione . Sia un angolo e per comodità scrivi . Poi $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Il lato sinistro, essendo una combinazione lineare di normali, è normale, con media e varianza . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Differenziando il cdf normale di questi parametri rispetto a ottiene il pdf dell'angolo. L'espressione è abbastanza cupa, ma una parte fondamentale di essa è l'esponenziale $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

mostrando subito che l'angolo non è normalmente distribuito. Tuttavia, come mostrano le simulazioni e l'intuizione, dovrebbe essere approssimativamente normale a condizione che le variazioni delle lunghezze laterali siano piccole rispetto alle lunghezze stesse. In questo caso un'approssimazione di Saddlepoint dovrebbe produrre buoni risultati per valori specifici di , , , e , anche se non è disponibile una soluzione generale in forma chiusa. La deviazione standard approssimativa cadrà subito dopo aver trovato la seconda derivata (rispetto a $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) del logaritmo del pdf (come mostrato nelle equazioni (2.6) e (3.1) del riferimento). Raccomando un sistema di algebra del computer (come MatLab o Mathematica) per eseguire questo!

— whuber
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Non c'è mai stata alcuna possibilità che fosse normalmente distribuito. È un angolo! Prende valori solo su

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— Robby McKilliam,

P (Y / X

q) = P (Y

qX) non è corretto se X è un normale rv - X può essere anche negativo.

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— ronaf

@ronaf: in realtà, dato che

sono le lunghezze dei lati di un triangolo fisica, dovremmo non avere negativo

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef,

@ronaf: questa è l'idea giusta. Se si usano lunghezze laterali con segno e si considera anche l'angolo come un valore reale (piuttosto che il suo valore modulo

), in entrambi i casi non vi è alcuna incoerenza con la normalità. Il tuo punto sulla disuguaglianza forse sbagliata è eccellente. Tutto ciò che posso fare in risposta è affermare che l'equazione è un'approssimazione eccellente sotto le ipotesi fatte perché la probabilità che X o Y sia negativa è trascurabile.

2 π

$2\pi$

— whuber

@YBE Sono d'accordo sul fatto che l'ultimo "+" nella mia espressione sembra non appartenere - potrebbe essersi inserito durante la pulizia del markup TeX. Non ho un riferimento perché ho calcolato io stesso il derivato.

— whuber

Stai guardando le statistiche circolari e in particolare una distribuzione circolare chiamata distribuzione normale proiettata .

Per qualche ragione questo argomento può essere un po 'difficile da google, ma i due principali testi sulle statistiche circolari sono L'analisi statistica dei dati circolari di Fisher e le statistiche direzionali di Mardia e Jupp.

Per un'analisi approfondita della distribuzione normale prevista, vedere pagina 46 di Mardia e Jupp. Ci sono espressioni in forma chiusa (fino alla funzione di errore integrale) per la distribuzione, e come ha suggerito whuber, sembra simile alla normale quando la sua `varianza '(attenzione qui, cosa significa varianza per una variabile casuale su un cerchio? !) è piccolo, cioè quando la distribuzione è abbastanza concentrata in un punto (o direzione o angolo).

— Robby McKilliam
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