In questa interpretazione, il triangolo è un triangolo rettangolo di lunghezze laterali e Y distribuito binormalmente con aspettative μ x e μ y , deviazioni standard σ x e σ y e correlazione ρ . Cerchiamo la distribuzione di arctan ( Y / X ) . A tal fine, standardizzare X e Y in modo cheXYμxμyσxσyρarctan(Y/X)XY
e Y = σ y η + μ y
X=σxξ+μx
Y=σyη+μy
con e η variate normali standard con correlazione ρ . Sia θ un angolo e per comodità scrivi q = tan ( θ ) . Poiξηρθq=tan(θ)
P[arctan(Y/X)≤θ]=P[Y≤qX]
=P[σyη+μy≤q(σxξ+μx)
=P[σyη−qσxξ≤qμx−μy]
Il lato sinistro, essendo una combinazione lineare di normali, è normale, con media e varianza σ 2 y + q 2 σ 2 x - 2 q ρ σ x σ y . μyσy−qμxσxσ2y+q2σ2x−2qρσxσy
Differenziando il cdf normale di questi parametri rispetto a ottiene il pdf dell'angolo. L'espressione è abbastanza cupa, ma una parte fondamentale di essa è l'esponenzialeθ
exp(−(μy(σy+1)−μx(σx+1)tan(θ))22(−2ρσxσytan(θ)+σ2x+σ2y+tan2(θ))),
mostrando subito che l'angolo non è normalmente distribuito. Tuttavia, come mostrano le simulazioni e l'intuizione, dovrebbe essere approssimativamente normale a condizione che le variazioni delle lunghezze laterali siano piccole rispetto alle lunghezze stesse. In questo caso un'approssimazione di Saddlepoint dovrebbe produrre buoni risultati per valori specifici di , μ y , σ x , σ y e ρ , anche se non è disponibile una soluzione generale in forma chiusa. La deviazione standard approssimativa cadrà subito dopo aver trovato la seconda derivata (rispetto a θμxμyσxσyρθ) del logaritmo del pdf (come mostrato nelle equazioni (2.6) e (3.1) del riferimento). Raccomando un sistema di algebra del computer (come MatLab o Mathematica) per eseguire questo!