Come posso generare dati con una matrice di correlazione prespecificata?

Sto cercando di generare una sequenza casuale correlata con media = , varianza = , coefficiente di correlazione = . Nel codice seguente, utilizzo & come deviazioni standard e & come mezzo.1 $0$$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

Questo mi dà la corretta corrcoef()di 0,8 tra xe y. La mia domanda è come posso generare una serie significa se voglio zche sia anche correlato con y(con la stessa correlazione ), ma non con . C'è una formula particolare che devo conoscere? Ne ho trovato uno ma non sono riuscito a capirlo.$r=0.8$x

Sembra che tu stia chiedendo come generare dati con una particolare matrice di correlazione.

Un fatto utile è che se si dispone di un vettore casuale con la matrice di covarianza Σ , allora il vettore casuale A x ha medio A E ( x ) e la matrice di covarianza Ω = A Σ A T . Quindi, se inizi con dati con zero medio, la moltiplicazione per A non lo cambierà, quindi il tuo primo requisito sarà facilmente soddisfatto. ${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

Diciamo che si inizia con i dati non correlati (media zero) (cioè la matrice di covarianza è diagonale) - dal momento che stiamo parlando della matrice di correlazione, facciamo solo prendere . Puoi trasformarlo in dati con una data matrice di covarianza scegliendo A per essere la radice quadrata cholesky di Ω - quindi A x avrebbe la matrice di covarianza desiderata Ω .$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

Nel tuo esempio, sembra che desideri qualcosa del genere:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

Sfortunatamente quella matrice non è definita positiva, quindi non può essere una matrice di covarianza - puoi verificarla vedendo che il determinante è negativo. Forse, invece

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

basterebbe. Non sono sicuro di come calcolare la radice quadrata cholesky in matlab (che sembra essere quello che stai usando) ma in Rte puoi usare la chol()funzione.

In questo esempio, per i due elencati sopra, i multipli di matrice appropriati (rispettivamente) sarebbero$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

Il Rcodice usato per arrivare a questo era:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Se stai usando R, puoi anche usare la funzione mvrnorm dal pacchetto MASS, supponendo che tu voglia variabili normalmente distribuite. L'implementazione è simile alla descrizione di Macro sopra, ma utilizza gli autovettori della matrice di correlazione anziché la scomposizione e il ridimensionamento cholesky con una scomposizione di valore singolare (se l'opzione empirica è impostata su true).

$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

Si noti che la matrice di correlazione deve essere definita positiva, ma sarà utile convertirla con la funzione nearPD dal pacchetto Matrix in R.

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$

$y=Ax$