Se generi una matrice simmetrica casuale, qual è la probabilità che sia definita positiva?

Ho avuto una strana domanda quando stavo sperimentando alcune ottimizzazioni convesse. La domanda è:

Supponiamo che io casualmente (diciamo la distribuzione normale standard) generi una matrice simmetrica (ad esempio, io generi una matrice triangolare superiore e riempia la metà inferiore per assicurarmi che sia simmetrica), qual è la probabilità che sia definita positiva matrice? Esiste un modo per calcolare la probabilità? $N \times N$

— Haitao Du
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Prova la simulazione ...

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen grazie, ma mi chiedo quale sia la possibilità che tutti gli autovalori siano maggiori di 0. o possiamo anche possibilmente farlo analiticamente.

— Haitao Du

La risposta dipende da come si genera la matrice. Ad esempio, un modo genera autovalori reali secondo una certa distribuzione e quindi coniuga quella matrice diagonale con una matrice ortogonale casuale. Il risultato sarà definito positivo se e solo se tutti questi autovalori sono positivi. Se dovessi generare autovalori in modo indipendente secondo una distribuzione simmetrica rispetto allo zero , quella probabilità ovviamente è al massimo . Per generare una matrice PD, quindi, scegli bene i tuoi autovalori! (Per un lavoro veloce, creo matrici come covarianze di dati normali multivariati.)

n

$n$

2^{- n}

$2^{-n}$

— whuber

Non una risposta alla domanda posta, ma nota che se prima simuli una matrice

L

$L$ con ogni voce tra normale e le stesse dimensioni di

N

$N$ , allora

N = L L^{T}

$N = LL^T$ è simmetrico e definito positivo con probabilità 1

— Cliff AB

Se le tue matrici sono tratte da voci iid normali normali, la probabilità di essere definite positive è approssimativamente di , quindi ad esempio se , la possibilità è 1/1000, e scende abbastanza velocemente dopo. Puoi trovare una discussione estesa di questa domanda qui . $p_N\approx 3^{-N^2/4}$ $N=5$

Puoi in qualche modo intuire questa risposta accettando che la distribuzione degli autovalori della tua matrice sarà approssimativamente semicerchio di Wigner , che è simmetrico rispetto allo zero. Se gli autovalori fossero tutti indipendenti, si avrebbe una probabilità di positività positiva secondo questa logica. In realtà si ottiene un comportamento , sia a causa delle correlazioni tra autovalori che delle leggi che regolano le grandi deviazioni degli autovalori, in particolare il più piccolo e il più grande. In particolare, gli autovalori casuali sono molto simili alle particelle cariche e non amano essere vicini l'uno all'altro, quindi si respingono a vicenda (stranamente abbastanza con lo stesso campo potenziale delle particelle cariche, , dove $(1/2)^N$ $N^2$ $\propto 1/r$ $r$ è la distanza tra autovalori adiacenti). Chiedergli di essere tutti positivi sarebbe quindi una richiesta molto alta.

Inoltre, a causa delle leggi sull'universalità nella teoria della matrice casuale, sospetto fortemente che la probabilità di cui sopra sarà probabilmente la stessa per qualsiasi matrice casuale "ragionevole", con voci iid con media finita e deviazione standard. $p_N$

— Alex R.
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È bello sapere che è molto basso. Quindi non userò il campionamento del rifiuto per creare una matrice SPD in futuro.

— Haitao Du

@ hxd1011: se stai provando a campionare matrici SPD, suggerisco il metodo che ho descritto nei commenti sopra. Inoltre, può essere utile leggere le scomposizioni di Cholesky

— Cliff AB

@CliffAB grazie. Generalmente generi matrice SPD sotto forma di matrice di covarianza di alcuni dati o da simile a quello che hai suggerito. Ho avuto il tempo di provare a mettere manualmente alcuni numeri su una piccola matrice diciamo e spero che sia una matrice PD.

A^{'} A

$A'A$

2 \times 2

$2 \times 2$

— Haitao Du