Come avrei potuto scoprire la distribuzione normale?

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Qual è stata la prima derivazione della distribuzione normale, puoi riprodurre quella derivazione e anche spiegarla nel suo contesto storico ?

Voglio dire, se l'umanità si fosse dimenticata della distribuzione normale, qual è il modo più probabile che la riscoprire e quale sarebbe la derivazione più probabile? Immagino che le prime derivazioni debbano derivare dal sottoprodotto del tentativo di trovare modi rapidi per calcolare distribuzioni di probabilità discrete di base, come i binomi. È corretto?

— statslearner
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Non è molto difficile inventare distribuzioni di probabilità: prendi qualsiasi funzione integrabile positiva, normalizzala e quindi hai una densità di probabilità. Ora, se vuoi fare un'inferenza basata sulla verosimiglianza con una famiglia di distribuzioni, hai bisogno che il logaritmo della densità sia una semplice funzione convessa. Più precisamente, se si desidera che la massima probabilità minimizzi una data funzione di perdita convessa, l'esponenziale di questa perdita è una scelta appropriata di densità. L'errore al quadrato dà origine alla distribuzione normale e potrebbe essere l'esempio più semplice di perdita convessa.

— Olivier,

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@Olivier, solo perché puoi inventare facilmente una distribuzione di probabilità non significa che sia utile o che si presenti ovunque. La scoperta della distribuzione gaussiana è legata alla risoluzione di problemi reali, immagino, non solo alla normalizzazione di una funzione.

— statslearner

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Esistono già alcune domande e risposte relative a questa storia, che possono rispondere o rispondere parzialmente alla tua domanda.

— Glen_b

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Vale la pena di leggere la sezione di Wikipedia sulla storia en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#History . La conclusione che traggo è che qui la priorità è, come spesso accade, una questione di controversia internazionale. Puoi scegliere tra De Moivre, Laplace, Gauss, ...

— mdewey,

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Dai un'occhiata a questa domanda qui e la risposta di @Glen_b stats.stackexchange.com/questions/227034/… Immagino che un modo per riscoprire la distribuzione normale sia prendere le misure e rendersi conto che c'è un'incertezza / errore associato con la misurazione, ovvero se si ripetono ripetutamente le misurazioni il risultato non sarà identico al 100%. Quindi si desidera quantificare l'incertezza / errore. E poi hai bisogno di qualche calcolo :) Anche il riferimento Stahl merita davvero una lettura!

— Stefan,

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Immagino che le prime derivazioni debbano derivare dal sottoprodotto del tentativo di trovare modi rapidi per calcolare distribuzioni di probabilità discrete di base, come i binomi. È corretto?

Sì.

La curva normale fu sviluppata matematicamente nel 1733 da DeMoivre come approssimazione alla distribuzione binomiale . Il suo documento non fu scoperto fino al 1924 da Karl Pearson. Laplace usò la curva normale nel 1783 per descrivere la distribuzione degli errori. Successivamente, Gauss usò la curva normale per analizzare i dati astronomici nel 1809.

Fonte: DISTRIBUZIONE NORMALE

Altre fonti con contesto storico:

Oggi il fatto che la distribuzione normale sia un'approssimazione dei binomi per grande è considerato un caso speciale del teorema del limite centrale. Può essere trovato nella maggior parte dei libri di testo ed è considerato elementare. Puoi trovare una prova su Wikipedia . L'esponenziale si presenta come $n$ dopo qualche espansione di Taylor della funzione caratteristica che produce $e^x=\lim(1+\frac{x}{n})^n$ . A volte trovi ancora prove speciali per i binomi nei libri di testo e questo è noto cometeorema diDeMoivre-Laplace. $-\frac{t^2}{2}$

— Benoit Sanchez
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Benoit, la derivazione di DeMoivre non sembra elementare, potresti includerlo nella tua risposta? Questa derivazione di DeMoivre è qualcosa che sto cercando (come nota a margine, sai se tutti i risultati di calcolo e approssimazioni - approssimazione di stirling per esempio - erano già disponibili per DeMoivre, o è questa una versione moderna della sua prova?)

— statslearner,

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Questa è una versione moderna. Non conosco la derivazione storica di DeMoire. L'unica informazione storica che ho è l'articolo segnalato sia da Stephan che da me.

— Benoit Sanchez,

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Stahl ("L'evoluzione della distribuzione normale", Mathematics Magazine , 2006) sostiene che le prime tracce storiche della normalità provenivano dal gioco d'azzardo, approssimazioni alle distribuzioni binomiali (per demografia) e analisi degli errori in astronomia.

— S. Kolassa - Ripristina Monica
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Sì, ma nella maggior parte (tutti?) Di questi casi la distribuzione normale non era esplicita. Sembra un po 'come concludere che Ben Franklin conosceva (o inventava) le equazioni di Maxwell perché aveva sperimentato l'elettricità.

— whuber

Potresti fornire le derivazioni fatte da questi autori?

— statslearner

Ad esempio, di quale matematica avevano bisogno per ricavarla?

— statslearner

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Alla parte storica della domanda è stata già fornita una risposta, forse, più volte su questo forum, ad esempio vedere la risposta accettata a una domanda simile. No, non è stato scoperto come approssimazione a distribuzioni discrete. Dubito che all'epoca esistesse persino la nozione di distribuzione della probabilità. È stato scoperto da ragazzi che oggi si chiamano fisici o matematici, immagino che i filosofi della natura all'epoca.

Come potrebbe un'altra civiltà scoprire la distribuzione normale è una domanda interessante. Chiunque studi errori e disturbi di qualsiasi tipo l'avrebbe trovato. È successo così che la nostra civiltà l'ha trovata mentre studiava corpi celesti. Dubito che sia probabile che altri umani sviluppino statistiche prima della fisica o della matematica.

— Aksakal
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Mi sono anche posto questa domanda e questo video di YouTube è la migliore risposta che ho trovato

https://www.youtube.com/watch?v=cTyPuZ9-JZ0

Non penso che sia la derivazione originale, ma la descrizione del video dice "Questo argomento è adattato dal lavoro dell'astronomo John Herschel nel 1850 e del fisico James Clerk Maxwell nel 1860."

— Sebastian
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Cosa c'e 'di speciale nella distribuzione normale è la teoria del limite centrale. Per dettagli e derivazioni / prove consultare: https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

— elliotp
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Questo non risponde alla domanda.

— whuber

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L'argomento della domanda è: come avrei potuto scoprire la distribuzione normale? e la risposta certamente risponde.

— G. Grothendieck,

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È difficile analizzare questa domanda. Chi è l'io in questa domanda? E quando è il momento in questione? Una risposta quasi banale è trovare una famiglia di posizione / scala $\propto \exp(-x^2)$ . L'OP prosegue chiedendo "Se l'umanità si fosse dimenticata della distribuzione normale, in che modo sarebbe stata riscoperta"? Questa è una domanda completamente diversa. Penso che una risposta pertinente qui sia quella che 1) prende in prestito la prospettiva della scienza moderna 2) fornisce una risposta diversa dalla risposta storica più frequentemente riscontrata, nota anche come Teoria del limite centrale.

Nella meccanica quantistica, nella teoria dell'informazione e nella termodinamica, l'entropia quantifica lo stato di un sistema. In questi campi, lo stato quantico è in effetti completamente casuale o stocastico. In contrasto con la meccanica classica. Nella meccanica classica, gli stati sono fissi ma la nostra osservazione è imperfetta a causa del contributo di centinaia o milioni di fattori di influenza non osservati: questo tipo di risultato dà origine al CLT.

Nella meccanica quantistica, usiamo la probabilità bayesiana per quantificare la nostra convinzione sullo stato del sistema. Lungo queste linee, sono state presentate e modificate prove che la variabile casuale gaussiana o normale ha la massima entropia tra tutte le variabili casuali con media finita o deviazione standard.

https://www.dsprelated.com/freebooks/sasp/Maximum_Entropy_Property_Gaussian.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_entropy

http://bayes.wustl.edu/etj/articles/brandeis.pdf

— ADAMO
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