Esistenza del momento che genera funzione e varianza

Una distribuzione con media finita e varianza infinita può avere una funzione generatrice di momenti? Che dire di una distribuzione con media finita e varianza finita ma infiniti momenti più elevati?

variance moments mgf

— mgf
fonte

Suggerimento : se il mgf esiste in un intervallo intorno allo zero, dire per qualche , quindi considerare l'espansione di Taylor di monotonia dell'integrale per scoprire la soluzione. :)

(- t_{0}, t_{0})

$(-t_0,t_0)$

t_{0} > 0

$t_0 > 0$

e^{x}

$e^x$

— cardinale il

Ignorando i problemi di convergenza (pensando alla mgf solo come una serie di potenze formali), cosa potrebbe essere la mgf se un momento non esistesse?

— whuber

Cardinale, per favore, puoi darci qualche riferimento sulle proposizioni che hai fornito?

Questa domanda offre una buona opportunità per raccogliere alcuni fatti sulle funzioni generatrici del momento ( mgf ).

Nella risposta di seguito, facciamo quanto segue:

Mostra che se il mgf è finito per almeno un valore (rigorosamente) positivo e un valore negativo, allora tutti i momenti positivi di $X$ sono finiti (compresi i momenti non integrali).
Dimostra che la condizione nel primo articolo sopra è equivalente alla distribuzione di $X$ con code delimitate in modo esponenziale . In altre parole, le code di $X$ cadono almeno altrettanto velocemente di quelle di una variabile casuale esponenziale $Z$ (fino a una costante).
Fornire una breve nota sulla caratterizzazione della distribuzione per il suo mgf purché soddisfi le condizioni del punto 1.
Esplora alcuni esempi e controesempi per aiutare il nostro intuito e, in particolare, per dimostrare che non dovremmo leggere un'indebita importanza nella mancanza di finitezza del mgf.

Questa risposta è piuttosto lunga, per la quale mi scuso in anticipo. Se questo sarebbe in una posizione migliore, ad esempio, come un post sul blog o altrove, non esitate a fornire tale feedback nei commenti.

Cosa dice il mgf riguardo ai momenti?

La mgf di una variabile casuale è definito come . Nota che esiste sempre poiché è l'integrale di una funzione misurabile non negativa. Tuttavia, se non può essere finito . Se è finito (nei posti giusti), quindi per tutti (non necessariamente un numero intero), i momenti assoluti (e, quindi, anche $X \sim F$ $m(t) = \mathbb E e^{tX}$ $m(t)$ $p > 0$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E X^p$ è finito). Questo è l'argomento della prossima proposta.

Proposizione : se esiste et tale che e , allora i momenti di tutti gli ordini di esistono e sono finiti. $\newcommand{\tn}{t_{n}}\newcommand{\tp}{t_{p}}\tn < 0$ $\tp > 0$ $m(\tn) < \infty$ $m(\tp) < \infty$ $X$

Prima di immergerti in una prova, ecco due utili lemmi.

Lemma 1 : Supponiamo quali e esistono. Quindi per ogni , . Prova . Ciò deriva dalla convessità di monotonicità dell'integrale. Per ogni tale , esiste tale che $\tn$ $\tp$ $t_0 \in [\tn,\tp]$ $m(t_0) < \infty$
$e^x$ $t_0$ $\theta \in [0,1]$ . Ma allora $t_0 = \theta \tn + (1-\theta) \tp$ Quindi, per monotonicità dell'integrale, .

e^{t_{0} X} = e^{θ t_{n} X + (1 - θ) t_{p} X} \leq θ e^{t_{n} X} + (1 - θ) e^{t_{p} X} .

$e^{t_0 X} = e^{\theta \tn X + (1-\theta) \tp X} \leq \theta e^{\tn X} + (1-\theta) e^{\tp X} \>.$

E e^{t_{0} X} \leq θ E e^{t_{n} X} + (1 - θ) E e^{t_{p} X} < \infty

$\mathbb E e^{t_0 X} \leq \theta \mathbb E e^{\tn X} + (1-\theta) \mathbb E e^{\tp X} < \infty$

Quindi, se il mgf è finito in due punti distinti, è finito per tutti i valori nell'intervallo tra quei punti.

Lemma 2 ( Nesting di spazi $L_p$ ): per , se , quindi . Prova : in questa risposta sono riportati due approcci e commenti associati . $0 \leq q \leq p$ $\mathbb E |X|^p < \infty$ $\mathbb E |X|^q < \infty$

Questo ci dà abbastanza per continuare con la prova della proposizione.

Prova della proposta . Se et esistono come indicato nella proposizione, quindi prendendo , sappiamo dal primo lemma che e . Ma, $\tn < 0$ $\tp > 0$ $t_0 = \min(-\tn,\tp) > 0$ $m(-t_0) < \infty$ $m(t_0) < \infty$ E il lato destro è composto di termini non negativi, quindi, in particolare, per ogni fissato

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} = 2 Σ_{n = 0}^{\infty} \frac{t_{0}^{2 n} X^{2 n}}{(2 n)!},

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{t_0^{2n} X^{2n}}{(2n)!} \>,$

k

$k$

Ora, supponendo

. Monotonicità dei rendimenti integrali

. Quindi, tuttianchei momenti di

sono limitate. Lemma 2 ci consente immediatamente di "colmare le lacune" e concludere chetutti imomenti devono essere finiti.

e^{- t_{0} X} + e^{t_{0} X} \geq 2 t_{0}^{2 k} X^{2 k} / (2 k)! .

$e^{-t_0 X} + e^{t_0 X} \geq 2 t_0^{2k} X^{2k}/(2k)! \>.$

E e^{- t_{0} X} + E e^{t_{0} X} < \infty

$\mathbb E e^{-t_0 X} + \mathbb E e^{t_0 X} < \infty$

E X^{2 k} < \infty

$\mathbb E X^{2k} < \infty$

X

$X$

Risultato

Il risultato della domanda attuale è che se uno qualsiasi dei momenti di è infinito o non esiste, possiamo immediatamente concludere che il mgf non è finito in un intervallo aperto contenente l'origine. (Questa è solo l' affermazione contrapposta della proposizione.) $X$

Pertanto, la proposizione sopra fornisce la condizione "giusta" per dire qualcosa sui momenti di base al suo mgf. $X$

Code esponenzialmente limitate e il mgf

Proposizione : il mgf è finito in un intervallo aperto contenente l'origine se e solo se le code di sono delimitate in modo esponenziale , ovvero per qualche e . $m(t)$ $(\tn,\tp)$ $F$ $\mathbb P( |X| > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $C > 0$ $t_0 > 0$

Prova . Tratteremo la coda giusta separatamente. La coda sinistra è gestita in modo completamente analogo.

Supponi per alcuni . Quindi, la coda destra di èdelimitata in modo esponenziale; in altre parole, esiste e tale che $(\Rightarrow)$ $m(t_0) < \infty$ $t_0 > 0$ $F$ $C > 0$ $b > 0$

P (X > X) \leq C e^{- B X} .

$\mathbb P(X > x) \leq C e^{-b x} \>.$

t > 0

$t > 0$

P (X > X) = P (e^{t X} > e^{t X}) \leq e^{- t X} E e^{t X} = m (t) e^{- t X} .

$\mathbb P(X > x) = \mathbb P(e^{tX} > e^{tx}) \leq e^{-tx} \mathbb E e^{t X} = m(t) e^{-t x} \>.$

C = m (t_{0})

$C = m(t_0)$

b = t_{0}

$b = t_0$

$(\Leftarrow)$ $C >0$ $t_0 > 0$ $\mathbb P(X > x) \leq C e^{-t_0 x}$ $t > 0$

E e^{t X} = \int_{0}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} P (e^{t X} > y) d y \leq 1 + \int_{1}^{\infty} C y^{- t_{0} / t} d y,

$\mathbb E e^{t X} = \int_0^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty \mathbb P( e^{t X} > y)\,\mathrm dy \leq 1 + \int_1^\infty C y^{-t_0/t} \, \mathrm dy \>,$

t

$t$

0 < t < t_{0}

$0 < t < t_0$

Questo completa la prova.

Una nota sull'unicità di una distribuzione data la sua mgf

$\mu_n = \mathbb E X^n$

Esempi e controesempi

$X$ $X = e^Y$ $Y$ $X \geq 0$ $e^{-x} \leq 1$ $x \geq 0$ $m(t) = \mathbb E e^{t X} \leq 1$ $t < 0$ $(-\infty,0]$ $X$

$m(t) = \infty$ $t > 0$ $x > 0$ $e^{x} \geq 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3$

E e^{t X} = (2 π)^{- 1 / 2} \int_{- \infty}^{\infty} e^{t e^{u} - u^{2} / 2} d u .

$\mathbb E e^{t X} = (2\pi)^{-1/2} \int_{-\infty}^\infty e^{t e^u - u^2/2} \,\mathrm d u \>.$

t > 0

$t > 0$

u

$u$

t e^{u} - u^{2} / 2 \geq t + t u

$t e^u - u^2/2 \geq t+tu$

\int_{K}^{\infty} e^{t + t u} d u = \infty

$\int_{K}^\infty e^{t + tu} \,\mathrm du = \infty$

K

$K$

t > 0

$t > 0$

D'altra parte, tutti i momenti della distribuzione lognormale sono limitati. Quindi, l'esistenza del mgf in un intervallo di circa zero non è necessaria per la conclusione della proposizione sopra .

$f(x)$ $x \in \mathbb R$

f (X) = \frac{1}{2 \sqrt{2 π} | X |} e^{- \frac{1}{2} (\log | X |)^{2}} .

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}|x|} e^{-\frac{1}{2} (\log |x|)^2} \>.$

t = 0

$t = 0$

$t \neq 0$ $\mathbb E|X|^p$ $p \geq 1$ $t > 0$ $e^x \geq x^3 / 6$ $x > 0$

E e^{t X} \geq \int_{1}^{\infty} \frac{t^{3} X^{3}}{6 π (1 + X^{2})} d X \geq \frac{t^{3}}{12 π} \int_{1}^{\infty} X d X = \infty .

$\mathbb E e^{tX} \geq \int_1^\infty \frac{t^3 x^3}{6\pi(1+x^2)} \,\mathrm dx \geq \frac{t^3}{12\pi} \int_1^\infty x \,\mathrm dx = \infty \>.$

t < 0

$t < 0$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

$X$ $Y = |X|$ $\mathbb E Y^p = \infty$ $p \geq 1$ $\mathbb E e^{tY}$ $t \in (-\infty,0]$

— cardinale
fonte

Grazie per aver pubblicato questo - è sorprendentemente facile da capire, considerando quanto sia tecnico - ben fatto.

— Macro,

Conosci qualche risultato sul mgf nello spazio di Hilbert?

— badatmath