Distribuzione del rapporto gaussiano: i derivati si basano su 's e s

Sto lavorando con due distribuzioni normali indipendenti e , con e e varianze e . $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Mi interessa la distribuzione del loro rapporto di . Né né hanno una media di zero, quindi non è distribuito come Cauchy. $Z=X/Y$ $X$ $Y$ $Z$

Devo trovare il CDF di , quindi prendere la derivata del CDF rispetto a , , e . $Z$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Qualcuno conosce un documento in cui questi sono già stati calcolati? O come farlo da solo?

Ho trovato la formula per il CDF in un articolo del 1969 , ma prendere questi derivati sarà sicuramente un dolore enorme. Forse qualcuno l'ha già fatto o sa come farlo facilmente? Devo principalmente conoscere i segni di questi derivati.

Questo documento contiene anche un'approssimazione analiticamente più semplice se è per lo più positivo. Non posso avere questa limitazione. Tuttavia, forse l'approssimazione ha lo stesso segno della derivata vera anche al di fuori dell'intervallo dei parametri? $Y$

— ABC
fonte

Ho aggiunto per te. Hai scritto "sigma" ma hai detto che si trattava di varianze, quindi le ho fatte sigma al quadrato. Assicurati che dica ancora quello che vuoi chiedere.

T E X

$\TeX$

— gung - Ripristina Monica

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution ha la funzione di densità di probabilità.

— Douglas Zare,

Questo è lo stesso PDF del documento sopra. Sto cercando di prendere il derivato del CDF rispetto al mus e ai sigmi sottostanti.

— ABC,

La formula del pdf trovata da David Hinkley è completamente in forma chiusa. Quindi puoi prendere quei derivati, un passo alla volta. In realtà sono curioso del punto di fare tali derivazioni in quanto non vi è alcun motivo per cui il segno dovrebbe essere uniformemente uniforme sui numeri reali ...

— Xi'an,

@ABC Puoi trovare la densità di nell'equazione 1 di questo documento . Ci ho lavorato qualche tempo fa e concorda con il risultato di Hinkley e il risultato di Marsaglia . Può essere dedotto dalla forza bruta così come suggerisce Douglas Zare (l'ho fatto, consigliato solo se hai davvero bisogno di farlo).

X / Y

$X/Y$

Risposte:

Alcuni documenti correlati:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— quantistico
fonte

Benvenuto nel sito, @Quantum. Ti dispiacerebbe dare un breve riassunto di questi articoli, in modo che i lettori possano giudicare se sono ciò che stanno cercando senza dover aprire e leggere ognuno?

— gung - Ripristina Monica

@gung Sì, mi dispiace ... Sto solo scherzando. Questi sono gli articoli più recenti sull'argomento, contenenti l'espressione per la densità di , per quanto ne so. L'argomento non è così caldo, quindi è probabile che questo elenco sia aggiornato a meno che tu non lo stia leggendo nell'anno 2527.

Z = X / Y

$Z=X/Y$

— Quantum

Quantum - Questo non risolve le preoccupazioni di @ gung. Le risposte solo link non sono generalmente accettabili. Gung ha chiesto se potevi "dare un breve riassunto di questi documenti" (che significa "nella tua risposta"). La tua descrizione collettiva in un commento non è sufficiente. Fornisci una breve descrizione di ogni link (se possibile, individualmente, non collettivamente) che indichi perché lo hai incluso / perché è pertinente. Allo stato attuale, la tua risposta potenzialmente utile rischia di essere convertita in un commento, come è già accaduto con le precedenti risposte di solo collegamento a questa domanda.

— Glen_b

Non capisco perché non esista l'aspettativa del rapporto. Se e sono normalmente distribuiti congiuntamente con una media diversa da zero, la media di è data da , cosa mi sto perdendo?

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— Royi,

Perché ti manca il fatto che la densità di è continua e positiva a zero, in modo che si generino code pesanti ...

y

$y$

— kjetil b halvorsen

Prendi in considerazione l'utilizzo di un pacchetto matematico simbolico come Mathematica, se disponi di una licenza, o Sage, in caso contrario.

Se stai solo facendo un lavoro numerico, potresti anche solo prendere in considerazione la differenziazione numerica.

Mentre noioso, sembra diretto. Cioè, tutte le funzioni coinvolte hanno derivati facili da calcolare. Potresti usare la differenziazione numerica per testare il tuo risultato quando hai finito per essere sicuro di avere la formula giusta.

— Dave31415
fonte

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}

— AaronDefazio
fonte

Distribuzione del rapporto gaussiano: i derivati ​​si basano su 's e s

Distribuzione del rapporto gaussiano: i derivati si basano su 's e s