Se

Sto cercando di dimostrare l'affermazione:

Se $X\sim\mathcal{N}(0,\sigma_1^2)$ e sono variabili casuali indipendenti, $Y\sim\mathcal{N}(0,\sigma_2^2)$

allora è anche una variabile casuale normale. $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Per il caso speciale $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$ (diciamo), abbiamo il risultato ben noto che $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ ogni volta che $X$ e $Y$ sonovariabili $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ . In effetti, è più generalmente noto che $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ sonoindipendenti $\mathcal{N}\left(0,\frac{\sigma^2}{4}\right)$ variabili.

Una prova dell'ultimo risultato segue usando la trasformazione $(X,Y)\to(R,\Theta)\to(U,V)$ dove $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ e . In effetti, qui $u=\frac{r}{2}\sin(2\theta),v=\frac{r}{2}\cos(2\theta)$ e $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$ . Ho cercato di imitare questa prova per il problema in questione, ma sembra diventare confuso. $V=\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$

Se non ho commesso alcun errore, allora per con la densità congiunta di come $(u,v)\in\mathbb{R}^2$ $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2}{σ_{1} σ_{2} π} \exp [- \sqrt{u^{2} + v^{2}} (\frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} + v}{σ_{1}^{2}} + \frac{\sqrt{u^{2} + v^{2}} - v}{σ_{2}^{2}})]

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{\sigma_1\sigma_2\pi}\exp\left[-\sqrt{u^2+v^2}\left(\frac{\sqrt{u^2+v^2}+v}{\sigma_1^2}+\frac{\sqrt{u^2+v^2}-v}{\sigma_2^2}\right)\right]$

Ho il moltiplicatore sopra dato che la trasformazione non è uno a uno. $2$

Quindi la densità di sarebbe data da $U$ , che non viene prontamente valutato. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f_{U,V}(u,v)\,\mathrm{d}v$

Ora sono interessato a sapere se esiste una prova in cui posso solo lavorare con e non devo considerare una per dimostrare che è normale. Trovare il CDF di non mi sembra così promettente al momento. Vorrei fare lo stesso anche per il caso . $U$ $V$ $U$ $U$ $\sigma_1=\sigma_2=\sigma$

Cioè, se e sono variabili indipendenti allora desidero mostrare che $X$ $Y$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ senza utilizzare un cambio di variabili. Se in qualche modo posso sostenere che, allora ho finito. Quindi due domande qui, il caso generale e quindi il caso particolare. $Z=\frac{2XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $Z\stackrel{d}{=}X$

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quandoindipendentemente $X^2-Y^2/ \sqrt{X^2+Y^2}\sim N(0,1)$ $X,Y\sim N(0,1)$ .

Dato che sono iid , mostra che $X,Y$ $N(0,1)$ sono iid $\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}},\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt{X^2+Y^2}}$ $N(0,\frac{1}{4})$ .

Modificare.

Questo problema è in realtà dovuto a L. Shepp, come ho scoperto negli esercizi di Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni (Vol. II) di Feller, insieme a un possibile suggerimento:

Sicuramente, e ho la densità di $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}}$ a portata di mano. $\frac{1}{X^2}$

Vediamo cosa potrei fare ora. A parte questo, un piccolo aiuto con l'integrale sopra è anche il benvenuto.

— StubbornAtom
fonte

Sebbene simile, l'approccio MGF per l'articolazione

è un po 'più semplice. Vedi l'ultima risposta di: math.stackexchange.com/a/2665178/22064 e: math.stackexchange.com/questions/2664469/…

(U, V)

$(U,V)$

— Alex R.

@AlexR. Sì, avevo visto l'approccio mgf comune, che funziona abbastanza bene se devo trovare la distribuzione congiunta per il caso della varianza uguale. Ma ho già la prova del cambiamento di variabili in quel caso, che nella mia mente è più facile. Quello che sto cercando di fare è lavorare con

da solo, poiché questa è la distribuzione che sto cercando .

U

$U$

— Testardo:

Il trucco è che la somma di

\frac{1}{X^{2}}

$\frac{1}{X^2}$

, che sono distribuzioni chi-quadrate inverse in scala, è anche una distribuzione chi-quadrata inversa in scala (che è la proprietà delle distribuzioni stabili). Quindi la magia avviene nella terza equazione di quanto segue:

\frac{1}{Y^{2}}

$\frac{1}{Y^2}$

U = \frac{X Y}{X^{2} + Y^{2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^{2}} + \frac{1}{Y^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^{2}}}} = Z

$U = \frac{XY}{X^2+Y^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{X^2}+\frac{1}{Y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{Z^2}}} = Z$

— Sisto Empirico

@MartijnWeterings Apparentemente questa è la prova originale fornita da Shepp.

— Testardo:

Non me lo sarei inventato da solo se non avessi menzionato il commento di Shepp. Ma ho avuto l'idea che non hai avuto questa prova. O almeno questo non era chiaro se fosse così.

— Sesto Empirico

Risposte:

La soluzione originale del problema di Shepp utilizza il concetto di proprietà legale stabile, che al momento mi sembra un po 'avanzato. Quindi non sono riuscito a comprendere il suggerimento dato nell'esercizio che ho citato nel mio post. Immagino che una prova riguardi solo la singola variabile e non usare un cambio di variabili è difficile da inventare. Quindi condivido tre documenti ad accesso aperto che ho trovato che forniscono una soluzione alternativa al problema: $U=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$

Il primo mi ha convinto a non andare giù il percorso di integrazione che ho preso con quella scelta della variabile per derivare la densità di . È il terzo documento che sembra qualcosa che posso seguire. Fornisco un breve schizzo della dimostrazione qui: $V$ $U$

Assumiamo senza perdita di generalità e impostiamo . Ora notando che e $\sigma_1^2=1$ $\sigma_2^2=\sigma^2$ $X^2\sim\chi^2_1$ sono indipendenti, abbiamo la densità congiunta di. Lo denotiamo con. $\frac{Y^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_1$ $(X^2,Y^2)$ $f_{X^2,Y^2}$

Considera la trasformazione tale che $(X^2,Y^2)\to(W,Z)$ e $W=\frac{X^2Y^2}{X^2+Y^2}$ . Quindi abbiamo la densità articolare di. Indichiamo entro. Seguendo la procedura standard, integriamoWRT perper ottenere la densità marginaledi. $Z=\frac{X^2+Y^2}{Y^2}$ $(W,Z)$ $f_{W,Z}$ $f_{W,Z}$ $z$ $f_W$ $W$

Scopriamo che è una variabile gamma con i parametri $W=U^2$ e $\frac{1}{2}$ , in modo che $2(1+\frac{1}{\sigma})^{-2}$ . Notiamo che la densità di è simmetrica di circa . Ciò implica che $(1+\frac{1}{\sigma})^2\,W\sim\chi^2_1$ $U$ $0$ , e quindi $(1+\frac{1}{\sigma})U\sim\mathcal{N}(0,1)$ . $U\sim\mathcal{N}\left(0,\left(\frac{\sigma}{\sigma+1}\right)^2\right)$

— StubbornAtom
fonte

secondo questo

Trasformare due normali variabili casuali

$X=r\cos(\theta) \hspace{.5cm} Y=r\sin(\theta) \hspace{.5cm} X,Y \sim normal(0,1) \Leftrightarrow \theta \sim Uniform(0,2\pi) \hspace{.5cm} r^2\sim chi(2)$ .
$X$ e $Y$ sono indipendenti $\Leftrightarrow$ $\theta$ e $r$ sono indipendenti.

anche $\sin(\theta) \sim \cos(\theta) \sim \sin(2\theta) \sim 2\sin(\theta) \cos(\theta) \sim \cos(2\theta) \sim \cos(2\theta) \sim f$ che $f(z) =\frac{1}{\pi \sqrt(1-z^2)} I_{[-1,1]}(z)$ poiché $z=\sin(\theta) \Rightarrow f(z)=|\frac{d}{dz} \sin^{-1}(z)| f_{\theta}(\sin^{-1}(z)) + |\frac{d}{dz} (\pi-\sin^{-1}(z))| f_{\theta}(\pi -\sin^{-1}(z)) =\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} +\frac{1}{\sqrt(1-z^2)} \frac{1}{2\pi} =\frac{1}{\pi\sqrt(1-z^2)}$

similar for others.

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r}=2r \cos(\theta) \sin(\theta) =r \sin(2\theta) \sim r \sin(\theta) \sim N(0,1)$

so we can show:

$X= \sigma r \cos(\theta)$ and $Y=\sigma r \sin(\theta)$

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{2r^2 \sigma \sigma \cos(\theta) \sin(\theta)}{r \sigma}=2\sigma r \cos(\theta) \sin(\theta) =\sigma r \sin(2\theta)\sim \sigma r \sin(\theta)\sim \sigma N(0,1)=N(0,\sigma^2)$

to show independent

$\frac{2XY}{\sqrt(X^2+Y^2)}= \sigma r \sin(\theta)$

$\frac{X^2-Y^2}{2\sqrt(X^2+Y^2)}=\frac{r^2 \sigma^2 (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))}{2r\sigma} =\frac{1}{2} r \sigma (\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)) \sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(2\theta)\sim \frac{1}{2} r \sigma \cos(\theta)$ and easy to say they are independent .

— Masoud
fonte

What if

σ_{X} \neq σ_{Y}

$\sigma_X \neq \sigma_Y$ ?

— Sextus Empiricus

i didn't think about it. but some calculation problems happen in

s q r t (X^{2} + Y^{2})

$sqrt(X^2+Y^2)$

— Masoud,