Indipendenza delle statistiche dalla distribuzione gamma

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Sia un campione casuale dalla distribuzione gamma . $X_1,...,X_n$ $\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Sia $\bar{X}$ e $S^2$ la media e la varianza del campione.

Quindi prova o confuta che $\bar{X}$ e $S^2/\bar{X}^2$ sono indipendenti.

Il mio tentativo: poiché $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ , dobbiamo verificare l'indipendenza di $\bar{X}$ e $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$ , ma come dovrei stabilire l'indipendenza tra loro?

— bellcircle
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Si consideri il Laplace congiunta trasformata di somma

U := \sum_{i} X_{i}

$U:= \sum_i X_i$ e il vettore

W

$\mathbf{W}$ di proporzioni

W_{i} := X_{i} / U

$W_i := X_i / U$ . Questo è

E {\exp [- t U - z^{⊤} W]}

$\text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}]\}$ ; si può dimostrare che questo è il prodotto di una funzione di

t

$t$ e una funzione di

z

$\mathbf{z}$ .

— Yves,

@Yves Potresti controllare la mia risposta postata di seguito?

— Bellcircle,

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C'è una dimostrazione carina, semplice, intuitivamente ovvia per integrale $\alpha.$ Si basa solo su proprietà ben note della distribuzione uniforme, distribuzione Gamma, processi di Poisson e variabili casuali e va così:

Ogni è il tempo di attesa fino a quando si verificano i punti di un processo di Poisson. $X_i$ $\alpha$
La somma è quindi il tempo di attesa fino a quando si verificano punti di quel processo. Chiamiamo questi punti $Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$ $n\alpha$ $Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$
In base a , i primi punti sono distribuiti in modo indipendente uniformemente tra e $Y$ $n\alpha-1$ $0$ $Y.$
Pertanto i rapporti sono distribuiti in modo indipendente uniformemente tra e In particolare, le loro distribuzioni non dipendono da $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$ $0$ $1.$ $Y.$
Di conseguenza, qualsiasi funzione (misurabile) di è indipendente da $Z_i/Y$ $Y.$
Tra queste funzioni ci sono (dove le parentesi indicano le statistiche dell'ordine di ).
$\begin{aligned} X_{1} / Y & = Z_{[α]} / Y \\ X_{2} / Y & = Z_{[2 α]} / Y - Z_{[α]} / Y \\ \dots \\ X_{n - 1} / Y & = Z_{[(n - 1) α]} / Y - Z_{[(n - 2) α]} / Y \\ X_{n} / Y & = 1 - Z_{[(n - 1) α]} / Y \end{aligned}$ $\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$ $[]$ $Z_i$

A questo punto, nota semplicemente che può essere scritto esplicitamente come una funzione (misurabile) di e quindi è indipendente da $S^2/\bar X^2$ $X_i/Y$ $\bar X = Y/n.$

— whuber
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Volete dimostrare che la media e il rv.s sono indipendenti, o equivalentemente che la somma e i rapporti sono indipendente. Possiamo dimostrare un risultato leggermente più generale supponendo che abbia probabilmente diverse forme , ma la stessa scala che si può presumere essere . $\bar{X}$ $n$ $X_i/\bar{X}$ $U := \sum X_i$ $n$ $W_i := X_i / U$ $X_i$ $\alpha_i$ $\beta>0$ $\beta = 1$

Considera la trasformata congiunta di Laplace di e ie, Questo si esprime come un integrale dimensionale over dove la costante è relativa a . Se introduciamo nuove variabili sotto il segno integrale impostando $U$ $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$

ψ (t, z) := E {\exp [- t U - z^{⊤} W} = E {\exp [- t \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} z_{i} \frac{X_{i}}{U}]}

$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$

n

$n$

(0, \infty)^{n}

$(0, \infty)^n$

Cst \int \exp [- (1 + t) (X_{1} + \dots + X_{n}) - \frac{z_{1} X_{1} + \dots + z_{n} X_{n}}{X_{1} + \dots + X_{n}}] X_{1}^{α_{1} - 1} ... X_{n}^{α_{n} - 1} d X

$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$

x

$\mathbf{x}$

y := (1 + t) x

$\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , vediamo facilmente che l'integrale può essere scritto come prodotto di due funzioni, una seconda dall'altro a seconda del vettore . Ciò dimostra che e sono indipendenti.

t

$t$

z

$\mathbf{z}$

U

$U$

W

$\mathbf{W}$

Disclaimer . Questa domanda riguarda il teorema di Lukacs sull'indipendenza proporzionale , quindi l'articolo di Eugene Lukacs A Characterization of the Gamma Distribution . Ho appena estratto qui la parte rilevante di questo articolo (vale a dire p. 324), con alcune modifiche alle notazioni. Ho anche sostituito l'uso della funzione caratteristica con quella della trasformata di Laplace per evitare cambiamenti di variabili che coinvolgono numeri complessi.

— Yves
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1

(+1) Per l'articolo sulla caratterizzazione della distribuzione gamma.

— Testardo:

1

Lascia . Si noti che è una statistica accessoria di , ovvero la sua distribuzione non dipende da . $U=\sum_i X_i$ $(X_i /U)_i$ $\beta$ $\beta$

Poiché è una statistica sufficientemente completa di , è indipendente da dal teorema di Basu, quindi la conclusione segue. $U$ $\beta$ $(X_i /U)_i$

Non sono sicuro della costruzione della statistica accessoria, poiché è indipendente solo da , non da . $\beta$ $\alpha$

— bellcircle
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Buona. Il teorema può essere invocato con considerato come fisso, quindi considerando un modello statistico a un parametro.

α

$\alpha$

— Yves,