Spiegazione / motivazione intuitiva della distribuzione stazionaria di un processo

Spesso, in letteratura, gli autori sono stati interessati a trovare la distribuzione stazionaria di un processo di serie storiche. Ad esempio, considera il seguente semplice processo AR ( ) : dove . $1$ $\{X_t\}$

X_{t} = α X_{t - 1} + e_{t},

$X_t = \alpha X_{t-1} + e_t,$

e_{t} \overset{i i d}{\sim} f

$e_t\stackrel{iid}{\thicksim} f$

Quali potrebbero essere le motivazioni per trovare la distribuzione stazionaria di qualsiasi processo stocastico?

Quali altre analisi (teoriche e pratiche) si potrebbero fare usando la distribuzione stazionaria risultante?

Qual è (sono) i problemi se la distribuzione stazionaria non esiste? Il processo diventerà inutile?

Cosa succede se la distribuzione stazionaria esiste ma non ha una forma chiusa? Quali sono gli svantaggi di non avere un'espressione a forma chiusa dello stesso?

— Shanks
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In una certa misura, penso che siamo interessati alla distribuzione stazionaria di un processo AR per lo stesso motivo per cui siamo interessati alla distribuzione di un processo iid. A condizione che esista la distribuzione stazionaria, è quindi la distribuzione marginale di , che ci dice la sua media e varianza o intervallo di confidenza in generale. In effetti, sono interessato solo al processo stazionario di covarianza, perché con il CLT conosco la distribuzione asintotica fintanto che conosco la media e la varianza.

X_{t}

$X_{t}$

— semibruin

Esistono varie motivazioni per l'interesse per le distribuzioni stazionarie in questo contesto, ma probabilmente l'aspetto più importante è che sono strettamente legate a distribuzioni limitanti. Per la maggior parte dei processi di serie storiche, esiste una stretta connessione tra la distribuzione stazionaria e la distribuzione limitante del processo. In condizioni molto ampie, i processi di serie temporali basati su termini di errore IID hanno una distribuzione stazionaria e convergono in questa distribuzione stazionaria come distribuzione limitante per qualsiasi distribuzione iniziale specificata. Ciò significa che se si lascia il processo in esecuzione per un lungo periodo, la sua distribuzione sarà vicina alla distribuzione stazionaria indipendentemente da come è iniziata. Pertanto, se hai motivo di credere che il processo sia in esecuzione da molto tempo,

Nella tua domanda usi l'esempio di un processo di serie temporali AR ( ) con termini di errore IID con una distribuzione marginale arbitraria. Se allora questo modello è una catena Markov ricorrente omogenea nel tempo e la sua distribuzione stazionaria può essere trovata invertendolo in un processo MA ( ): $1$ $|\alpha|<1$ $\infty$

X_{t} = \sum_{k = 0}^{\infty} α^{k} e_{t - k} e_{t} \sim IID f .

$X_t = \sum_{k=0}^\infty \alpha^{k} e_{t-k} \quad \quad \quad e_t \sim \text{IID }f.$

Possiamo vedere che il processo è una somma ponderata di una catena infinita di termini di errore IID, in cui i coefficienti correttori esplodono in modo esponenziale. La distribuzione limitante può essere ottenuta dalla distribuzione degli errori mediante una convoluzione appropriata per questa somma ponderata. In generale, questo dipenderà dalla forma di e potrebbe essere una distribuzione complicata. Tuttavia, vale la pena notare che se la distribuzione dell'errore non è pesante, e se modo che il decadimento sia lento, la distribuzione limitante sarà vicina a una distribuzione normale, a causa dell'approssimazione del limite centrale teorema . $f$ $f$ $\alpha \approx 1$

Applicazioni pratiche: nella maggior parte delle applicazioni del processo di serie temporali AR ( ) ipotizziamo una normale distribuzione degli errori , il che significa che la distribuzione stazionaria del processo è : $1$ $e_t \sim \text{IID N}(0, \sigma^2)$

X_{t} \sim N (0, \frac{σ^{2}}{1 - α^{2}}) .

$X_t \sim \text{N} \Big( 0, \frac{\sigma^2}{1-\alpha^2} \Big).$

Indipendentemente dalla distribuzione iniziale per il processo, questa distribuzione stazionaria è la distribuzione limitante del processo. Se abbiamo motivo di credere che il processo sia stato in esecuzione per un periodo di tempo ragionevole, allora sappiamo che il processo si sarà avvicinato a questa distribuzione limitante, quindi ha senso presumere che il processo segua questa distribuzione. Naturalmente, come con qualsiasi applicazione della modellistica statistica, esaminiamo i grafici / i test diagnostici per vedere se i dati falsificano il nostro modulo modello presunto. Tuttavia, questo modulo si adatta a un'ampia classe di casi in cui viene utilizzato il modello AR ( ). $1$

Cosa fare se non esiste una distribuzione stazionaria: ci sono alcuni processi di serie temporali in cui la distribuzione stazionaria non esiste. Questo è più comune quando c'è qualche aspetto periodico fisso nella serie, o qualche stato assorbente (o altre classi di stati non comunicanti). In questo caso potrebbe non esserci una distribuzione limitante, oppure la distribuzione limitante potrebbe essere una distribuzione marginale che è aggregata tra più classi non comunicanti, il che non è poi così utile. Questo non è intrinsecamente un problema: significa solo che è necessario un diverso tipo di modello che rappresenti correttamente la natura non stazionaria del processo. Questo è più complicato, ma la teoria statistica ha modi e mezzi per affrontarlo.

— Ben - Ripristina Monica
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Grazie mille, @ Ben per la risposta. Questo cancella alcuni dei miei dubbi. Hai detto che la distribuzione stazionaria può essere utilizzata in varie applicazioni statistiche. Ciò significa che la distribuzione stazionaria è utile se solo ha una forma chiusa? Se chiarisci un po 'di più su cosa accadrà se la distribuzione stazionaria esiste ma non ha una forma esplicita?

— Shanks,

Il solito caso è assumere una distribuzione normale per i termini di errore, che porta quindi a una distribuzione stazionaria normalmente distribuita per il processo. Ciò ha anche il vantaggio di essere la distribuzione formata dal CLT. Nel caso in cui si stia utilizzando un modello con una distribuzione stazionaria che non è in forma chiusa, è possibile simularlo o prendere un'approssimazione usando miscele di distribuzioni normali. È raro vedere qualcuno usare un processo non normale.

— Ben - Ripristina Monica il

Penso che la distribuzione stazionaria diventi non normale se compliciamo un po 'la funzione autoregressiva, diciamo o .

X_{t} = α X_{t - 1}^{2} + e_{t}

$X_t = \alpha X_{t-1}^2 + e_t$

X_{t} = α | X_{t - 1} | + e_{t}

$X_t = \alpha |X_{t-1}| + e_t$

— Shanks,

Ora hai una forma di modello diversa, e quindi una domanda diversa.

— Ben - Ripristina Monica il