Come viene chiamata la famiglia di distribuzioni con PDF proporzionale a ?

Considera una famiglia di distribuzioni con PDF (fino a una costante di proporzionalità) data da Come si chiama? Se non ha un nome, come lo chiameresti?

p (x) \sim \frac{1}{(1 + α x^{2})^{1 / α}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$

Sembra abbastanza simile alla famiglia di distribuzioni con PDF proporzionale a $t$

p (x) \sim \frac{1}{(1 + \frac{1}{ν} x^{2})^{(ν + 1) / 2}} .

$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$

Quando abbiamo -distribution con 1 df, aka distribuzione Cauchy. Quando o , otteniamo la distribuzione gaussiana. $\alpha=\nu=1$ $t$ $\alpha\to 0$ $\nu\to\infty$

Questa famiglia di distribuzioni appare in Yang et al., Incorporamento simmetrico del vicino stocastico simmetrico, NIPS 2009 , ma non usano alcun nome per riferirsi ad esso.

— ameba
fonte

mathworks.com/help/stats/t-location-scale-distribution.html . Direi che è una forma di distribuzione t scalata impostando i valori corrispondenti su v e ridimensionare.

— Cagdas Ozgenc,

Grazie @CagdasOzgenc (+1). Hai ragione. Glen_b ha spiegato questo in una risposta.

— amoeba,

Nel caso in cui non ne sia a conoscenza, mgcv::gamconsente la specifica di una T in scala come risposta durante l'utilizzo gam( family= "scat", ... ).

— usεr11852,

È semplicemente una distribuzione scala particolare - una distribuzione con una varianza diversa dalla distribuzione standard . $t$ $t$ $t$

Lascia che . Lascia che . $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$ $\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$

Quindi (se l'ho fatto bene) è una standard con df $Y=X/\sigma$ $t$ $\nu$

Ecco come è andato il mio ragionamento:

f_{Y} (y) = c \cdot \frac{1}{(1 + \frac{y^{2}}{ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$ è una densità standard .

t

$t$

Otteniamo la famiglia di scale lasciando , nel qual caso è una scala -densità. $X/\sigma=Y$

f_{X} (x) = \frac{1}{σ} f_{Y} (\frac{x}{σ}) = \frac{c}{σ} \cdot \frac{1}{(1 + \frac{x^{2}}{σ^{2} ν})^{(ν + 1) / 2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$

t

$t$

Basta equiparare i coefficienti della densità a questo e risolvere per e . $\nu$ $\sigma$

Riconoscere che un parametro di scala occuperà tutto ciò che non è "giusto" in (dato che è già definito da poteri equivalenti) era tutto ciò che era necessario per vederlo ridimensionato ; l'algebra non è stata richiesta fino a quando non è arrivato il momento di trovare effettivamente i parametri di . $\alpha x^2$ $\nu$ $t$ $t$

[Nota finale: nel caso in cui non sia ovvio che una famiglia di scale abbia la forma , prendi la probabilità istruzione (notando che l'evento è identico all'evento ) e differenzia.] $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ $X/\sigma\leq t$ $Y\leq t$

— Glen_b - Ripristina Monica
fonte

È interessante notare che questa conversione si interrompe quando . Suppongo sia perché il PDF ridimensionato divergerà quando integrato sulla linea reale, giusto?

α \geq 2

$\alpha\ge 2$

— amoeba,

Sì. Ad esempio in hai qualcosa che si avvicina anelle code, e così entrambe le metà dell'integrale divergono. Bene, quell'argomento è un po 'lento, ma puoi stringerlo abbastanza facilmente.

α = 2

$\alpha=2$

k / | x |

$k/|x|$

— Glen_b

@amoeba Nota che . Uso questa distribuzione frequentemente per la stima della volatilità nelle serie temporali finanziarie.

v a r = σ^{2} \frac{v}{v - 2}

$var=\sigma^2 \frac{v}{v-2}$

— Cagdas Ozgenc,