Perché la somma delle probabilità in una distribuzione uniforme continua non è l'infinito?

La funzione di densità di probabilità di una distribuzione uniforme (continua) è mostrata sopra. L'area sotto la curva è 1, il che ha senso poiché la somma di tutte le probabilità in una distribuzione di probabilità è 1.

Formalmente, la funzione di probabilità sopra (f (x)) può essere definita come

1 / (ba) per x in [a, b]

e 0 altrimenti

Considera che devo scegliere un numero reale tra a (diciamo 2) eb (diciamo 6). Questo rende la probabilità uniforme = 0,25. Tuttavia, poiché vi è un numero infinito di numeri in quell'intervallo, la somma di tutte le probabilità non dovrebbe essere sommata all'infinito? Cosa sto trascurando?

F (x) non è la probabilità che si verifichi il numero x?

descrive ladensità di probabilitàanziché unamassa di probabilitànel tuo esempio. In generale, per ledistribuzioni continueglieventi- le cose per cui otteniamo le probabilità - sonointervallidi valori, ad esempio per l'area sotto la curva da a a a + .1 , o da a a b (sebbene tali intervalli non debbano essere contigui ). Per le distribuzioni continue, la probabilità che si verifichi un singolo valore è generalmente 0.$f(x)$$a$$a+.1$$a$$b$

Perché ogni termine nella somma è ponderato dall'infinitesimale d . L'importanza di questo è probabilmente più facilmente comprensibile camminando attentamente attraverso un esempio molto semplice.$x$

Prendi in considerazione l'utilizzo della somma di Riemann per calcolare l'area sotto la seguente regione rettangolare (è stato scelto un rettangolo per rimuovere l'aspetto di approssimazione della somma di Riemann, che non è il focus qui): ] Possiamo calcolare l'area usando 2 sottoregioni o usando 4 sottoregioni . Nel caso delle 2 sottoregioni (indicate con ), le aree sono indicate da 5 × 1 = 5 L'area totale in entrambi i casi corrisponde a $A_i$ mentre nel caso di 4 sottoregioni (indicato con B i ), le aree sono indicate da B 1 = B 2 = B 3 = B 4

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ $B_i$ $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ Ora, tutto questo è abbastanza ovvio, ma solleva una domanda sottilmente importante che è:perché queste due risposte sono d'accordo? Intuitivamente dovrebbe essere chiaro che funziona perché abbiamoridotto la larghezzadella seconda serie di sottoregioni. Potremmo considerare di fare la stessa cosa con 8 sottoregioni ciascuna con una larghezza di $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ $0.5$, e ancora con 16 ... e potremmo continuare questo processo fino a quando non avremo un numero infinito di sottoregioni, ognuna con una minuscola larghezza di d . Finché tutto è sempre correttamente ponderato, le risposte dovrebbero sempre essere d'accordo. Senza la corretta ponderazione, la somma sarebbe semplicemente ∞ .$x$$\infty$

Questo è il motivo per cui mi assicuro sempre di indicare agli studenti che un integrale non è semplicemente il simbolo , ma la coppia di simboli ∫ d x .$\int$$\int \text dx$

$\frac{1}{\infty} = 0$

$f(x) = 1$$x \in \left[0, 1\right]$$f(x) = 0$$0.2$$0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

cioè hai una probabilità del 10% di ottenere un risultato in quel range

^{[1] Ci} scusiamo per tutte le persone che hanno attacchi di cuore per la mia eccessiva semplificazione del calcolo.

In generale il tuo ragionamento fallisce in questo presupposto:

Tuttavia, poiché vi è un numero infinito di numeri in quell'intervallo, la somma di tutte le probabilità non dovrebbe essere sommata all'infinito?

È un problema matematico, noto fin dai paradossi di Zenone di Elea .

Due delle sue affermazioni erano quelle

1. Una freccia non può mai raggiungere il suo obiettivo
2. Achille non supererà mai una tartaruga

Entrambi erano basati sull'affermazione che è possibile costruire una sequenza infinita di numeri positivi (nel primo caso dicendo che una freccia deve volare all'infinito per metà della restante strada verso il bersaglio, nel secondo dicendo che Achille ha per raggiungere la posizione in cui era precedentemente la tartaruga, e nel frattempo la tartaruga si sposta in una nuova posizione che diventa il nostro prossimo punto base di riferimento).

Avanzamento rapido, questo ha portato alla scoperta di infinite somme.

Quindi, in generale, la somma di infiniti molti numeri positivi non deve necessariamente essere infinita ; tuttavia, potrebbe non essere infinito solo se (un'estrema semplificazione eccessiva, mi dispiace per quello) quasi tutti i numeri nella sequenza sono molto vicini a 0, indipendentemente da quanto vicino a zero si richiede loro di essere.

Infinity gioca ancora più acrobazie. Anche l' ordine in cui aggiungi elementi della sequenza è importante e potrebbe portare a una situazione in cui il riordino dà risultati diversi!

Esplora un po 'di più sui paradossi dell'infinito . Potresti essere stupito.

$f(x)$$\frac{p}{x}$$f(x) = \frac{1}{b-a}$$\frac{p}{x}$

Spero che abbia senso.