Esistono distribuzioni diverse da Cauchy per le quali la media aritmetica di un campione segue la stessa distribuzione?

Se segue una distribuzione di Cauchy, allora segue esattamente la stessa distribuzione di ; vedi questa discussione . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Questa proprietà ha un nome?
Ci sono altre distribuzioni per le quali questo è vero?

MODIFICARE

Un altro modo di porre questa domanda:

lascia che sia una variabile casuale con densità di probabilità . $X$ $f(x)$

lasciare , dove denota l'osservazione esimo . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ stessa può essere considerata come una variabile casuale, senza condizionamenti sui valori specifici di . $X$

Se segue una distribuzione di Cauchy, la funzione di densità di probabilità di è $X$ $Y$ $f(x)$

Esistono altri tipi di funzioni di densità di probabilità (non banali *) per che danno come risultato che abbia una funzione di densità di probabilità di ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* L'unico esempio banale che mi viene in mente è un delta di Dirac. cioè non una variabile casuale.

— Chechy Levas
fonte

Il tuo titolo ha poco senso, perché il "valore atteso di un campione" è un numero. Intendi invece la media aritmetica del campione? Anche la domanda è vaga: per "distribuzione" intendi una distribuzione specifica o intendi - come suggerisce il termine "Cauchy" - una famiglia di distribuzioni? Non è una sottigliezza minore: la risposta cambia completamente a seconda di cosa intendi. Modifica il tuo post per chiarirlo.

— whuber

@whuber, ho aggiunto una seconda parte alla domanda che, si spera, restringe la gamma di possibili interpretazioni.

— Chechy Levas,

Grazie; questo chiarisce la maggior parte. Tuttavia, esistono risposte diverse a seconda che si correggano o se si desidera che questo risultato sia valido per tutti Se è quest'ultimo, la condizione su cf o cgf è grave e porta a una soluzione pronta. Se è il primo, allora potenzialmente ci sono soluzioni aggiuntive.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Stavo pensando a tutti ma se qualcuno volesse fornire anche un'analisi su un fisso , sarebbe il benvenuto.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas,

Questa non è davvero una risposta, ma almeno non sembra facile creare un esempio del genere da una distribuzione stabile. Dovremmo produrre un camper la cui funzione caratteristica è la stessa di quella media.

In generale, per un pareggio iid, il cf della media è

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ con il cf di un singolo rv Per distribuzioni stabili con parametro di posizione zero, abbiamo dove La distribuzione di Cauchy corrisponde a , , in modo che effettivamente per qualsiasi parametro di scala .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

In generale, per ottenere , sembra richiesto, quindi ma

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
fonte

Quindi è giusto dire che sulla base della tua analisi, Cauchy è l'unica soluzione per a = 1?

— Chechy Levas,

Questa è la mia impressione da questi risultati, ma sono abbastanza sicuro che ci siano persone più informate qui intorno a distribuzioni stabili.

— Christoph Hanck,

Non è necessario invocare la teoria delle distribuzioni stabili. Consentendo a essere il cgf, l'equazione è perDal momento che è una funzione ancora continua e zero all'origine, ciò implica immediatamente che il germe di all'origine è

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Questa dovrebbe essere la risposta accettata? Inoltre l'unico modo in cui posso vedere per risolvere questo è con , che (penso) è il delta di Dirac.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas,