approssimativo per una distribuzione discreta

Qual è il modo migliore per approssimare per due date interi quando si sa che i media , varianza , asimmetria e curtosi in eccesso di una discreta distribuzione di , ed è chiaro dalle misure (diverse da zero) di forma e che un'approssimazione normale non è appropriata?$Pr[n \leq X \leq m]$$m,n$σ 2 γ 1 γ 2 X γ 1 γ $\mu$$\sigma^2$$\gamma_1$$\gamma_2$$X$$\gamma_1$$\gamma_2$

Di solito, userei un'approssimazione normale con correzione di numeri interi ...

$Pr[(n - \text{½})\leq X \leq (m + \text{½})] = Pr[\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma}\leq Z \leq \frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}] = \Phi(\frac{(m + \text{½})-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{(n - \text{½})-\mu}{\sigma})$

... se l'asimmetria e l'eccesso di curtosi fossero (più vicini a) 0, ma non è così.

Devo eseguire più approssimazioni per diverse distribuzioni discrete con valori diversi di e . Quindi sono interessato a scoprire se esiste una procedura stabilita che utilizza e per selezionare un'approssimazione migliore rispetto all'approssimazione normale.γ 2 γ 1 γ $\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1$$\gamma_2$

Questa è una domanda interessante, che non ha davvero una buona soluzione. Esistono diversi modi per affrontare questo problema.

1. Supponi una distribuzione sottostante e i momenti della partita, come suggerito nelle risposte di @ivant e @onestop. Un aspetto negativo è che la generalizzazione multivariata potrebbe non essere chiara.

2. Approssimazioni a sella. In questo documento:

   Gillespie, CS e Renshaw, E. Un'approssimazione della sella migliorata. Mathematical Biosciences , 2007.

   Guardiamo a recuperare un pdf / pmf quando vengono dati solo i primi momenti. Abbiamo scoperto che questo approccio funziona quando l'asimmetria non è troppo grande.

3. Espansioni di Laguerre:

   Mustapha, H. e Dimitrakopoulosa, R. Espansioni generalizzate di Laguerre di densità di probabilità multivariate con momenti . Computer e matematica con applicazioni , 2010.

   I risultati in questo documento sembrano più promettenti, ma non li ho codificati.

Adattare una distribuzione ai dati utilizzando i primi quattro momenti è esattamente ciò per cui Karl Pearson ha ideato la famiglia Pearson di distribuzioni di probabilità continue (la massima probabilità è molto più popolare in questi giorni ovviamente). Dovrebbe essere semplice da adattare al membro pertinente di quella famiglia, quindi utilizzare lo stesso tipo di correzione della continuità come indicato sopra per la distribuzione normale.

Presumo che tu debba avere una dimensione del campione davvero enorme? In caso contrario, le stime di esempio dell'asimmetria e in particolare della curtosi sono spesso irrimediabilmente imprecise, oltre ad essere altamente sensibili agli outlier. In ogni caso, ti consiglio vivamente di dare un'occhiata ai momenti L come alternativa che presenta diversi vantaggi rispetto ai momenti ordinari che possono essere vantaggioso per adattare le distribuzioni ai dati.

Potresti provare a usare la distribuzione normale obliqua e vedere se l'eccesso di curtosi per i tuoi particolari set di dati è sufficientemente vicino all'eccesso di curtosi della distribuzione per una certa asimmetria. In tal caso, è possibile utilizzare il cdf di distribuzione normale inclinato per stimare la probabilità. Altrimenti, dovresti trovare una trasformazione in pdf normal / skew simile a quella usata per la distribuzione skew normal, che ti darebbe il controllo sia sull'asimmetria che sull'eccessiva curtosi.