Quando e implicano ?

La domanda:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ e $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

So che questo non vale in generale; Il teorema di Slutsky si applica solo quando una o entrambe le convergenze sono in probabilità.

Tuttavia, ci sono casi in cui si fa attesa?

Ad esempio, se le sequenze e sono indipendenti. $X_n$ $Y_n$

— Mai
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Risposte:

Formalizzando la risposta @Ben, l'indipendenza è quasi una condizione sufficiente, perché sappiamo che la funzione caratteristica della somma di due camper indipendenti è il prodotto delle loro funzioni caratteristiche marginali. Lascia che . Sotto indipendenza di e ,

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Così

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

e abbiamo (poiché ipotizziamo che e convergano) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

che è la funzione caratteristica di ... se sono indipendenti. E saranno indipendenti se uno dei due ha una funzione di distribuzione continua ( vedi questo post ). Questa è la condizione richiesta oltre all'indipendenza delle sequenze, in modo che l'indipendenza sia preservata al limite. $X+Y$ $X+Y$

Senza indipendenza avremmo

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

e nessuna affermazione generale può essere fatta riguardo al limite.

— Alecos Papadopoulos
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Ottima risposta (+1). Penso che con questo metodo vale anche la pena notare che l'assunto più debole (indipendenza asintotica) passa direttamente al secondo passo e quindi ti dà anche il risultato . Ciò dimostra che l'indipendenza asintotica è sufficiente per la proprietà desiderata.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Ripristina Monica il

Il teorema di Cramer-Wold fornisce una condizione necessaria e sufficiente:

Sia una sequenza di variabili casuali valutate conQuindi, $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Per fare un esempio, lascia e definisci e . Abbiamo quindi banalmente e, a causa della simmetria della distribuzione normale standard, che Tuttavia, non converge nella distribuzione, poiché Questa è un'applicazione del Dispositivo Cramer-Wold per . $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— Christoph Hanck
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Sì, l'indipendenza è sufficiente: le condizioni antecedenti qui riguardano la convergenza nella distribuzione per le distribuzioni marginali di e . La ragione per cui l'implicazione non vale in generale è che nelle condizioni antecedenti non c'è nulla che affronti la dipendenza statistica tra gli elementi delle due sequenze. Se imponessi l'indipendenza delle sequenze, ciò sarebbe sufficiente per garantire la convergenza nella distribuzione della somma. $\{ X_n \}$ $\{ Y_n \}$

( Alecos ha aggiunto di seguito un'eccellente risposta che dimostra questo risultato usando funzioni caratteristiche. L'indipendenza asintotica è anche sufficiente per questa implicazione, poiché si verifica la stessa decomposizione limitante delle funzioni caratteristiche.)

— Ben - Ripristina Monica
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L'indipendenza delle sequenze potrebbe non essere sufficiente. È inoltre necessaria l'indipendenza della e limitante . Se le sequenze sono indipendenti ma sei .

X

$X$

Y

$Y$

X = - Y

$X = -Y$

— ragazzo

La conclusione che è il cdf di nella risposta di @Alecos si basa sul fatto che e sono indipendenti. Quindi richiede che e siano indipendenti, se la modalità di convergenza è . Supponiamo che e siano iid , quindi e , ma mentre .

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$

X + Y

$X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$

X + Y = 0

$X + Y = 0$

— ragazzo

@Alecos Se si accetta che convergono in una si concorda banalmente che entrambi convergono nella distribuzione in per definizione. Entrambi convergono anche nella distribuzione in e in tutte le altre variabili casuali. La convergenza nella distribuzione non è come le altre modalità di convergenza, puoi convergere nella distribuzione in molte variabili casuali diverse; la variabile casuale limitante non ha nemmeno bisogno di essere definita sullo stesso spazio di probabilità. L'unica cosa unica è la distribuzione marginale .

N (0, 1)

$N(0,1)$

X_{1}

$X_1$

- X_{1}

$-X_1$

N (0, 1)

$N(0,1)$

— ragazzo

@Alecos, in altre parole, nota che la distribuzione di non è nemmeno ben definita solo parlando che le sequenze sono indipendenti. Puoi avere e senza fare alcuna ipotesi sulla struttura di dipendenza di e , anche se fai forti ipotesi sulla dipendenza di e . Tutto quello che abbiamo fatto è stato immobilizzato i marginali di e .

X + Y

$X+Y$

X_{n} \to X

$X_n \to X$

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$

X

$X$

Y

$Y$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

X

$X$

Y

$Y$

— ragazzo

Oh; Penso di capire. Stai dicendo che ho bisogno di una condizione aggiuntiva sull'indipendenza di e perché la mia affermazione originale nella domanda sia valida. Per favore fatemi sapere se ho capito bene.

X

$X$

Y

$Y$

— mai