Anche il valore assoluto di una serie fissa è fermo?

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So che anche le trasformazioni lineari di serie temporali derivanti da processi (debolmente) stazionari sono stazionarie. È vero, tuttavia, per una trasformazione di una serie prendendo anche il valore assoluto di ciascun elemento? In altre parole, se è stazionario, allora fermo? $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

time-series data-transformation stationarity

— Arthur Campello
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Solo una nota sulla terminologia: per me, stazionario significa che tutte le distribuzioni a dimensione finita sono invarianti di spostamento. Con questa definizione, la risposta è ovviamente "sì". Se intendi che solo la media e la covarianza delle distribuzioni a dimensione finita sono invarianti a turni (che è ciò che avrei definito "debolmente stazionario"), allora la risposta è ovviamente no, come mostra la risposta di @Yves. Non c'è motivo di aspettarsi che | X | è controllato da X e X ^ 2. Se per "debolmente stazionario" intendi che solo la media è invariante, come FransRodenburg, dovresti cambiare la tua terminologia.

— Bananach,

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In un caso particolare questo è piuttosto vero:

Se le serie storiche sono stazionarie con errori normalmente distribuiti, i valori assoluti delle serie storiche originali seguono una distribuzione normale piegata stazionaria. Poiché anche una stazionarietà debole significa che sia la media che la varianza sono costanti nel tempo, anche i valori assoluti saranno stazionari. Per altre distribuzioni ciò significa che i valori assoluti delle serie storiche originali sono almeno debolmente stazionari, poiché la varianza costante dei valori originali si traduce in una media costante dei nuovi valori.

Tuttavia, se le serie storiche originali hanno solo una media costante, la varianza può cambiare nel tempo, il che influirà sulla media dei valori assoluti. Pertanto, i valori assoluti non saranno (debolmente) stazionari.

Una risposta più generale richiederebbe qualche studio della funzione generatrice del momento del valore assoluto di una variabile casuale. Forse qualcuno con un background più matematico può rispondere a questo.

— Frans Rodenburg
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In una serie temporale debolmente stazionaria, la varianza non può cambiare nel tempo; è una costante. Quindi chiarisci se è la varianza delle serie storiche originali o la varianza dei valori assoluti che stai discutendo in quella frase.

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate Hai ragione, ho confuso la terminologia e modificato la mia risposta di conseguenza.

— Frans Rodenburg,

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Sia una serie temporale in cui è una variabile casuale discreta che assume valori con uguale probabilità . Si può facilmente verificare che e e quindi il processo è debolmente stazionario. Inoltre, ovviamente, non è strettamente stazionario poiché e , $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $X_n$ $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ $\frac 14$ $E[X_n] = 0$

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n) \\ = + (- \cos (m)) (- \cos (m + n)) + (- \sin (m)) (- \sin (m + n))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n)] \\ = \frac{1}{2} \cos (n) \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$

X_{0}

$X_0$

X_{n}

$X_n$

n \neq 0

$n\neq 0$ assumere valori diversi e quindi le distribuzioni di e sono diverse invece di essere le stesse necessarie (insieme a molti altri requisiti) per la rigorosa stazionarietà.

X_{n}

$X_n$

X_{m}

$X_m$

Per il processo debolmente stazionario sopra descritto, il processo non è debolmente stazionario perché non è una costante come è necessario per una debole stazionarietà (anche se è vero che la funzione di autocorrelazione è un funzione di solo). $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ $n$

D'altra parte, come osservato da @bananach in un commento sulla domanda principale, se la stazionarietà viene interpretata come stazionarietà rigorosa , allora la stazionarietà rigorosa di implica che è anche un processo strettamente stazionario. Anche i processi strettamente stazionari con varianza finita sono processi debolmente stazionari, e quindi per questa sottoclasse, è vero che una debole stazionarietà di implica una debole stazionarietà di . Ma, come descritto nella prima parte di questa risposta, non si può sempre concludere quella debole stazionarietà di $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implica una debole stazionarietà di . $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

— Dilip Sarwate
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La risposta è no. Questo può essere visto considerando una sequenza di r.vs. indipendenti con la loro distribuzione marginale presa in una famiglia parametrica in base a tre parametri. Per ottenere un esempio generico, possiamo considerare una distribuzione che può essere parametrizzata utilizzando i primi due momenti insieme al momento assoluto . Possiamo quindi mantenere costanti i primi due parametri mentre il terzo dipende da . $X_i$ $\mathbb{E}[|X|]$ $\mathbb{E}[|X_i|]$ $i$

Come esempio specifico possiamo prendere una distribuzione discreta con supporto ; i tre momenti , e esprimono come combinazioni lineari delle quattro probabilità . Poiché le tre combinazioni lineari sono linearmente indipendenti, possiamo usare i tre momenti per ri-parametrizzare come desiderato. $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[X^2]$ $\mathbb{E}[|X|]$ $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

— Yves
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Hai E | X | piuttosto che E [| X |].

— Accumulo

Non vedo come puoi garantire che l'autovarianza sia costante.

— Accumulo

Sì, può essere più chiaro utilizzare la seconda notazione, sebbene entrambi siano validi.

— Yves

Dal momento che il

X_{i}

$X_i$ sono indipendenti, così come lo sono

| X_{i} |

$|X_i|$ e la loro autocovarianza quindi è zero.

— Yves

2

Come molti altri hanno dimostrato, la debole stazionarietà non rimane necessariamente quando si assume il valore assoluto delle serie temporali. La ragione di ciò è che assumere il valore assoluto di ciascun elemento delle serie temporali può cambiare la media e la varianza in modo non uniforme, a causa delle differenze nelle distribuzioni sottostanti dei valori. Sebbene stazionarietà debole non trasferisce sopra in questo modo, è da notare che forte stazionarietà non rimangono sotto la trasformazione valore assoluto.

— Ben - Ripristina Monica
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