Come posso modellare una proporzione con BUGS / JAGS / STAN?

Sto cercando di costruire un modello in cui la risposta è proporzionale (in realtà è la percentuale di voti che un partito ottiene nei collegi elettorali). La sua distribuzione non è normale, quindi ho deciso di modellarlo con una distribuzione beta. Ho anche diversi predittori.

Tuttavia, non so come scriverlo in BUGS / JAGS / STAN (JAGS sarebbe la mia scelta migliore, ma non importa davvero). Il mio problema è che faccio una somma di parametri dai predittori, ma poi cosa posso farci?

Il codice sarebbe qualcosa del genere (nella sintassi JAGS), ma non so come "collegare" i parametri y_hate y.

for (i in 1:n) {
 y[i] ~ dbeta(alpha, beta)

 y_hat[i] <- a + b * x[i]
}

( y_hatè solo il prodotto incrociato di parametri e predittori, quindi la relazione deterministica. aE bsono i coefficienti che cerco di stimare, xessendo un predittore).

Grazie per i vostri suggerimenti!

L'approccio di regressione beta è di ri-parametrizzare in termini di e . Dove sarà l'equivalente di y_hat che prevedi. In questa parametrizzazione avrai e . Quindi puoi modellare come logit della combinazione lineare. può avere il suo precedente (deve essere maggiore di 0), oppure può essere modellato anche su covariate (scegliere una funzione di collegamento per mantenerlo maggiore di 0, come esponenziale).ϕ μ α = μ × ϕ β = ( 1 - μ ) × ϕ μ $\mu$$\phi$$\mu$$\alpha=\mu\times\phi$$\beta=(1-\mu) \times \phi$$\mu$$\phi$

Forse qualcosa come:

for(i in 1:n) {
  y[i] ~ dbeta(alpha[i], beta[i])
  alpha[i] <- mu[i] * phi
  beta[i]  <- (1-mu[i]) * phi
  logit(mu[i]) <- a + b*x[i]
}
phi ~ dgamma(.1,.1)
a ~ dnorm(0,.001)
b ~ dnorm(0,.001)

Greg Snow ha dato un'ottima risposta. Per completezza, ecco l'equivalente nella sintassi di Stan. Sebbene Stan abbia una distribuzione beta che potresti usare, è più veloce elaborare tu stesso il logaritmo della densità beta perché le costanti log(y)e log(1-y)possono essere calcolate una volta all'inizio (piuttosto che ogni volta che y ~ beta(alpha,beta)verrebbero chiamate). Aumentando la lp__variabile riservata (vedi sotto), puoi sommare il logaritmo della densità beta sulle osservazioni nel tuo campione. Uso l'etichetta "gamma" per il vettore dei parametri nel predittore lineare.

data {
  int<lower=1> N;
  int<lower=1> K;
  real<lower=0,upper=1> y[N];
  matrix[N,K] X;
}
transformed data {
  real log_y[N];
  real log_1my[N];
  for (i in 1:N) {
    log_y[i] <- log(y[i]);
    log_1my[i] <- log1m(y[i]);
  }
}
parameters {
  vector[K] gamma;
  real<lower=0> phi;
}
model {
  vector[N] Xgamma;
  real mu;
  real alpha_m1;
  real beta_m1;
  Xgamma <- X * gamma;
  for (i in 1:N) {
    mu <- inv_logit(Xgamma[i]);
    alpha_m1 <- mu * phi - 1.0;
    beta_m1 <- (1.0 - mu) * phi - 1.0;
    lp__ <- lp__ - lbeta(alpha,beta) + alpha_m1 * log_y[i] + 
                                        beta_m1 * log_1my[i];
  }
  // optional priors on gamma and phi here
}