In che modo l'entropia dipende dalla posizione e dalla scala?

L' entropia di una distribuzione continua con funzione di densità $f$ è definito come il negativo della aspettativa di $\log(f),$ e quindi è uguale a

H_{f} = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (f (x)) f (x) d x .

$H_f = -\int_{-\infty}^{\infty} \log(f(x)) f(x)\mathrm{d}x.$

Diciamo anche che qualsiasi variabile casuale $X$ cui distribuzione ha densità $f$ ha entropia $H_f.$ (Questo integrale è ben definito anche quando $f$ ha zeri, perché $\log(f(x))f(x)$ può essere portato a zero uguale a tali valori.)

Quando $X$ e $Y$ sono variabili casuali per le quali $Y = X+\mu$ ( $\mu$ è una costante), si dice che $Y$ è una versione di $X$ spostata di $\mu.$ Allo stesso modo, quando $Y = X\sigma$ ( $\sigma$ è una costante positiva), si dice che $Y$ è una versione di $X$ ridimensionata di $\sigma.$ Combinando una scala con uno spostamento si ottiene $Y=X\sigma + \mu.$

Queste relazioni si verificano frequentemente. Ad esempio, cambiando le unità di misura di $X$ sposta e si ridimensiona.

In che modo l'entropia di $Y = X\sigma + \mu$ correlata a quella di $X?$

distributions data-transformation entropy

— whuber
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Poiché l'elemento di probabilità di $X$ è $f(x)\mathrm{d}x,$ la variazione della variabile $y = x\sigma + \mu$ è equivalente a $x = (y-\mu)/\sigma,$ da cui

f (x) d x = f (\frac{y - μ}{σ}) d (\frac{y - μ}{σ}) = \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) d y

$f(x)\mathrm{d}x = f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\mathrm{d}\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) \mathrm{d}y$

ne segue che la densità di $Y$ è

f_{Y} (y) = \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) .

$f_Y(y) = \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right).$

Di conseguenza l'entropia di $Y$ è

H (Y) = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (\frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ})) \frac{1}{σ} f (\frac{y - μ}{σ}) d y

$H(Y) = -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(\frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)\right) \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right) \mathrm{d}y$

che, cambiando la variabile in $x = (y-\mu)/\sigma,$ produce

\begin{aligned} H (Y) & = - \int_{- \infty}^{\infty} \log (\frac{1}{σ} f (x)) f (x) d x \\ = - \int_{- \infty}^{\infty} (\log (\frac{1}{σ}) + \log (f (x))) f (x) d x \\ = \log (σ) \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x - \int_{- \infty}^{\infty} \log (f (x)) f (x) d x \\ = \log (σ) + H_{f} . \end{aligned}

$\eqalign{ H(Y) &= -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(\frac{1}{\sigma}f\left(x\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= -\int_{-\infty}^{\infty} \left(\log\left(\frac{1}{\sigma}\right) + \log\left(f\left(x\right)\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= \log\left(\sigma\right) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x -\int_{-\infty}^{\infty} \log\left(f\left(x\right)\right) f\left(x\right) \mathrm{d}x \\ &= \log(\sigma) + H_f. }$

$f(x)\mathrm{d}x$

La conclusione è

$Y = X\sigma + \mu$ $X$ $\log(\sigma).$

$\sigma \ge 1$ $\log(\sigma).$

$\mu$ $\sigma$ $(\mu,\sigma)$ $\mu=0$ $\sigma=1.$

\log (f (x)) = - \frac{1}{2} \log (2 π) - x^{2} / 2,

$\log(f(x)) = -\frac{1}{2}\log(2\pi) - x^2/2,$

da dove

H = - E [- \frac{1}{2} \log (2 π) - X^{2} / 2] = \frac{1}{2} \log (2 π) + \frac{1}{2} .

$H = -E[-\frac{1}{2}\log(2\pi) - X^2/2] = \frac{1}{2}\log(2\pi) + \frac{1}{2}.$

$(\mu,\sigma)$ $\log\sigma$

H = \frac{1}{2} \log (2 π) + \frac{1}{2} + \log (σ) = \frac{1}{2} \log (2 π e σ^{2})

$H = \frac{1}{2}\log(2\pi) + \frac{1}{2} + \log(\sigma) = \frac{1}{2}\log(2\pi\,e\,\sigma^2)$

come riportato da Wikipedia .

— whuber
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