Indipendenza della media e varianza delle distribuzioni uniformi discrete

Nei commenti sotto un mio post , Glen_b e io discutevamo di come le distribuzioni discrete abbiano necessariamente media e varianza dipendenti.

Per una distribuzione normale ha senso. Se te lo dico$\bar{x}$, non hai idea di cosa $s^2$ è, e se te lo dico $s^2$, non hai idea di cosa $\bar{x}$è. (Modificato per indirizzare le statistiche del campione, non i parametri della popolazione.)

Ma poi per una distribuzione uniforme discreta, non si applica la stessa logica? Se stimo il centro degli endpoint, non conosco la scala e se stimo la scala, non conosco il centro.

Cosa non va nel mio pensiero?

MODIFICARE

Ho fatto la simulazione di jbowman. Poi l'ho colpito con la trasformazione integrale di probabilità (penso) per esaminare la relazione senza alcuna influenza dalle distribuzioni marginali (isolamento della copula).

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){     
    Data <- sample(seq(1,10,1),100,replace=T)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)    
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var,main="Observations")
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var),main="'Copula'")

Nella piccola immagine che appare in RStudio, la seconda trama sembra avere una copertura uniforme sul quadrato dell'unità, quindi indipendenza. Dopo lo zoom in avanti, ci sono bande verticali distinte. Penso che questo abbia a che fare con la discrezione e che non dovrei leggerne. Ho quindi provato per una distribuzione uniforme continua su$(0,10)$.

Data.mean <- Data.var <- rep(NA,20000)
for (i in 1:20000){

    Data <- runif(100,0,10)
    Data.mean[i] <- mean(Data)
    Data.var[i] <- var(Data)

}
par(mfrow=c(2,1))
plot(Data.mean,Data.var)
plot(ecdf(Data.mean)(Data.mean),ecdf(Data.var)(Data.var))

Questo sembra davvero che abbia punti distribuiti uniformemente attraverso il quadrato dell'unità, quindi rimango scettico $\bar{x}$ e $s^2$ sono indipendenti.

jbowman's Answer (+1) racconta gran parte della storia. Eccone un po 'di più.

(a) Per i dati provenienti da una distribuzione uniforme continua , la media del campione e la DS non sono correlate, ma non indipendenti. I "contorni" della trama sottolineano la dipendenza. Tra le distribuzioni continue, l'indipendenza vale solo per il normale.

set.seed(1234)
m = 10^5; n = 5
x = runif(m*n);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

(b) Uniforme discreta. La discrezione consente di trovare un valore$a$ della media e un valore $s$ della SD tale che $P(\bar X = a) > 0,\, P(S = s) > 0,$ ma $P(\bar X = a, X = s) = 0.$

set.seed(2019)
m = 20000;  n = 5;  x = sample(1:5, m*n, rep=T)
DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT)
s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

(c) Una distribuzione normale arrotondata non è normale. La discrezione provoca dipendenza.

set.seed(1776)
m = 10^5; n = 5
x = round(rnorm(m*n, 10, 1));  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=20)

(d) Oltre a (a), usando la distribuzione $\mathsf{Beta}(.1,.1),$ invece di $\mathsf{Beta}(1,1) \equiv \mathsf{Unif}(0,1).$ sottolinea i confini dei possibili valori della media campionaria e della DS. Stiamo "schiacciando" un ipercubo a 5 dimensioni su 2 spazi. Le immagini di alcuni hyper-edge sono chiare. [Rif: la figura seguente è simile alla Fig. 4.6 in Suess & Trumbo (2010), Introduzione alla simulazione di probabilità e campionamento di Gibbs con R, Springer.]

set.seed(1066)
m = 10^5; n = 5
x = rbeta(m*n, .1, .1);  DAT = matrix(x, nrow=m)
a = rowMeans(DAT);  s = apply(DAT, 1, sd)
plot(a,s, pch=".")

Addendum per commento.

Non è che la media e la varianza sono dipendenti nel caso di distribuzioni discrete, è che il campione di media e varianza dipendono proposta i parametri della distribuzione. La media e la varianza sono funzioni fisse dei parametri della distribuzione e concetti come "indipendenza" non si applicano ad essi. Di conseguenza, ti stai ponendo le domande ipotetiche sbagliate di te stesso.

Nel caso della distribuzione uniforme discreta, tracciare i risultati di 20.000 $(\bar{x}, s^2)$ coppie calcolate da campioni di 100 uniformi $(1, 2, \dots, 10)$ variates si traduce in:

che mostra abbastanza chiaramente che non sono indipendenti; i valori più alti di$s^2$ si trovano in modo sproporzionato verso il centro della gamma di $\bar{x}$. (Tuttavia, non sono correlati; un semplice argomento di simmetria dovrebbe convincerci di ciò.)

Ovviamente, un esempio non può provare la congettura di Glen nel post a cui ti sei collegato che non esiste una distribuzione discreta con medie campionarie e varianze indipendenti!