Distribuzione con ° cumulativo dato da ?

Esistono informazioni sulla distribuzione il cui ° cumulativo è dato da ? La funzione di generazione cumulativa ha la forma L'ho trovato come la distribuzione limitante di alcune variabili casuali ma non sono stato in grado di trovare alcuna informazione su di esso. $n$ $\frac 1 n$

κ (t) = \int_{0}^{1} \frac{e^{t x} - 1}{x} d x .

$\kappa(t) = \int_0 ^ 1 \frac{e^{tx} - 1}{x} \ dx.$

distributions mgf cumulants

— tipo
fonte

Non riesco a vedere che questa funzione che hai dato ha la proprietà rivendicata! Dovresti rivedere il tuo lavoro. Approssimando l'esponenziale dell'integrando vicino a zero con , l'integrando vicino a zero diventa , quindi è divergente. Quindi quell'integrale non può rappresentare una funzione di generazione cumulativa.

κ (t)

$\kappa(t)$

1 + t x

$1+tx$

t / x

$t/x$

— kjetil b halvorsen,

@kjetilbhalvorsen non sono sicuro di seguire. Approssimando con ottiene per l'integrando. Inoltre, secondo questo la funzione che ho dato ha un integrale noto in termini di coseno iperbolico e integrali seno. Per mostrare che ha la proprietà rivendicata basta fare una serie completa di Taylor intorno a per e spingere l'integrale fino alla somma per ottenere la serie di Taylor per intorno a .

e^{t x}

$e^{tx}$

1 + t x

$1 + tx$

\frac{t x}{x} = t

$\frac{tx}{x} = t$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

e^{t x}

$e^{tx}$

κ (t)

$\kappa(t)$

0

$0$

— ragazzo

sympy dice che l'integrale è divergente (nel suo modo eccentrico!). Ma sympy deve essere sbagliato, lo vedo ora, ho sperimentato un'integrazione numerica e funziona bene. Ci riproverò.

— kjetil b halvorsen,

Osservando il risultato di Wolphram alfa, non può essere corretto neanche, ha un limite diverso da zero quando t si avvicina a zero, mentre chiaramente.

κ (0) = 0

$\kappa(0)=0$

— kjetil b halvorsen,

Credo che sia assolutamente continuo su

. È realizzato come un limite di variabili casuali di Poisson compoud; come

un composto Poisson con velocità

(0, \infty)

$(0, \infty)$

n \to \infty

$n \to \infty$

e densità di distribuzione del salto

\int_{1 / n}^{1} \frac{1}{x} d x

$\int_{1/n}^1 \frac 1 x \ dx$

converge debolmente a questa distribuzione.

f_{n} (x) \propto \frac{1}{x} I (1 / n < x < 1)

$f_n(x) \propto \frac 1 x I(1/n < x < 1)$

— ragazzo

Conoscere i valori degli accumulatori ci consente di avere un'idea di come apparirà il grafico di questa distribuzione di probabilità. La media e la varianza della distribuzione è

E [Y] = κ_{1} = 1, Var [Y] = κ_{2} = \frac{1}{2}

$E[Y] = \kappa_1 =1, \;\; \text{Var}[Y] = \kappa_2 = \frac 12$

mentre la sua asimmetria e i coefficienti di curtosi in eccesso sono

γ_{1} = \frac{κ_{3}}{(κ_{2})^{3 / 2}} = \frac{(1 / 3)}{(1 / 2)^{3 / 2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}

$\gamma_1 = \frac{\kappa_3}{(\kappa_2)^{3/2}} = \frac{(1/3)}{(1/2)^{3/2}} = \frac{2\sqrt 2}{3}$

γ_{2} = \frac{κ_{4}}{(κ_{2})^{2}} = \frac{(1 / 4)}{(1 / 2)^{2}} = 1

$\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{(\kappa_2)^{2}} = \frac{(1/4)}{(1/2)^{2}} = 1$

Quindi questo potrebbe essere un grafico dall'aspetto familiare di una variabile casuale positiva che mostra asimmetria positiva. Per quanto riguarda la ricerca la distribuzione di probabilità, l'approccio di un artigiano potrebbe essere quello di specificare una distribuzione generica probabilità discreta, a valori in , con probabilità corrispondenti $\{0,1,...,m\}$ , quindi usa i cumulativi per calcolare i momenti grezzi, allo scopo di formare un sistema di equazioni lineari con le probabilità sconosciute. I cumulanti sono correlati ai momenti grezzi di $\{p_0,p_1,...,p_m\},\; \sum_{k=0}^mp_k =1$ Risolto per i primi cinque momenti grezzi, ciò dà (il valore numerico alla fine è specifico per gli accumulatori nel nostro caso)

κ_{n} = μ_{n}^{'} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (\binom{n - 1}{i - 1}) κ_{i} μ_{n - i}^{'}

$\kappa_n=\mu'_n-\sum_{i=1}^{n-1}{n-1 \choose i-1}\kappa_i \mu_{n-i}'$

Se (temporaneamente) set

abbiamo il sistema di equazioni

\begin{aligned} μ_{1}^{'} = & κ_{1} = 1 \\ μ_{2}^{'} = & κ_{2} + κ_{1}^{2} = 3 / 2 \\ μ_{3}^{'} = & κ_{3} + 3 κ_{2} κ_{1} + κ_{1}^{3} = 17 / 6 \\ μ_{4}^{'} = & κ_{4} + 4 κ_{3} κ_{1} + 3 κ_{2}^{2} + 6 κ_{2} κ_{1}^{2} + κ_{1}^{4} = 19 / 3 \\ μ_{5}^{'} = & κ_{5} + 5 κ_{4} κ_{1} + 10 κ_{3} κ_{2} + 10 κ_{3} κ_{1}^{2} + 15 κ_{2}^{2} κ_{1} + 10 κ_{2} κ_{1}^{3} + κ_{1}^{5} = 243 / 15 \end{aligned}

$\begin{align} \mu'_1=&\kappa_1 =1\\ \mu'_2=&\kappa_2+\kappa_1^2=3/2\\ \mu'_3=&\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3=17/6\\ \mu'_4=&\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4=19/3\\ \mu'_5=&\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5=243/15\\ \end{align}$

m = 5

$m=5$

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{5} p_{k} = & 1, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k = 1 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{2} = & 3 / 2, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{3} = 17 / 6 \\ \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{4} = & 19 / 3, \sum_{k = 0}^{5} p_{k} k^{5} = 243 / 15 \\ s . t . p_{k} \geq 0 \forall k \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=0}^5p_k=&1,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk=1\\ \sum_{k=0}^5p_kk^2=&3/2,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^3=17/6\\ \sum_{k=0}^5p_kk^4=& 19/3 ,\qquad \sum_{k=0}^5p_kk^5= 243/15\\ &s.t. p_k\ge 0 \;\;\forall k\\ \end{align}$

$m$ $5$ $m$

— Alecos Papadopoulos
fonte

(0, a)

$(0, a)$

(a, \infty)

$(a, \infty)$ it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).

— guy

Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for

a

$a$ ?

— Alecos Papadopoulos

Dug up my old code and found

a \approx 1

$a \approx 1$ . If

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ then

[Y ∣ Y < 1]

$[Y \mid Y < 1]$ is approximatey

U (0, 1)

$\mathcal U(0, 1)$ and

[Y - 1 ∣ Y > 1]

$[Y - 1\mid Y > 1]$ is approximately gamma distributed with shape

1.4

$1.4$ and mean

0.64

$0.64$ .

— guy

What do you mean by

Y \sim κ (t)

$Y \sim \kappa(t)$ ?

— Alecos Papadopoulos

So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?

— wolfies