Le cifre di

Supponiamo di osservare la sequenza:

7, 9, 0, 5, 5, 5, 4, 8, 0, 6, 9, 5, 3, 8, 7, 8, 5, 4, 0, 0, 6, 6, 4, 5, 3, 3, 7, 5, 9, 8, 1, 8, 6, 2, 8, 4, 6, 4, 1, 9, 9, 0, 5, 2, 2, 0, 4, 5, 2, 8. ..

Quali test statisticamente applicheresti per determinare se questo è veramente casuale? Cordiali saluti, queste sono le cifre . Di . Quindi, le cifre di statisticamente casuali? Questo dice qualcosa sulla costante ?$n$$\pi$$\pi$$\pi$

$\pi$

Rispondendo solo alla prima delle tue domande: "Quali test applicheresti per determinare se questa [sequenza] è veramente casuale?"

Che ne dici di trattarlo come una serie temporale e di verificare le auto-correlazioni? Ecco un po 'di codice R. Prima alcuni dati di test (prime 1000 cifre):

digits_string="1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989"
digits=as.numeric(unlist(strsplit(digits_string,"")))

Controlla i conteggi di ogni cifra:

> table(digits)
digits
  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9 
 93 116 103 102  93  97  94  95 101 106 

Quindi trasformalo in una serie temporale ed esegui il test Box-Pierce:

d=as.ts( digits )
Box.test(d)

che mi dice:

X-squared = 1.2449, df = 1, p-value = 0.2645

In genere, si desidera che il valore p sia inferiore a 0,05 per dire che ci sono correlazioni automatiche.

Corri acf(d)per vedere le correlazioni automatiche. Non ho incluso un'immagine qui in quanto è un grafico noioso, anche se è curioso che i ritardi più grandi siano a 11 e 22. Eseguiacf(d,lag.max=40) per mostrare che non c'è picco a lag = 33, e che era solo una coincidenza!

PS Potremmo confrontare quanto bene hanno fatto quelle 1000 cifre di pi, facendo gli stessi test su numeri casuali reali.

probs=sapply(1:100,function(n){
    digits=floor(runif(1000)*10)
    bt=Box.test(ts(digits))
    bt$p.value
    })

Ciò genera 1000 cifre casuali, esegue il test e lo ripete 100 volte.

> summary(probs)
    Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
0.006725 0.226800 0.469300 0.467100 0.709900 0.969900 
> sd(probs)
[1] 0.2904346

Quindi il nostro risultato è stato comodamente all'interno della prima deviazione standard, e sembra più simile a un'anatra casuale. (Ho usato set.seed(1)se vuoi riprodurre quei numeri esatti.)

È una domanda strana. I numeri non sono casuali.

$\pi$ è completamente fisso.

$0.1212121212\ldots$ . In entrambi i casi, la "casualità" deriva dalla scelta casuale delle cose, come il disegno di nomi da un cappello.

$\pi$$\pi$$\pi$$2^{2^{2^2}}+1$$\pi$$\pi$