Somma delle variabili aleatorie binomiali e di Poisson

Se abbiamo due variabili casuali indipendenti $X_1 \sim \mathrm{Binom}(n,p)$ e $X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda)$ , qual è la funzione di massa di probabilità di $X_1 + X_2$ ?

NB Questo non è un compito per me.

— Matteo Fasiolo
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Immagino tu abbia provato a contorcersi? en.wikipedia.org/wiki/… Dove ti sei bloccato? Presumo che non ci sia una forma chiusa, altrimenti la soluzione sarebbe probabilmente qui: en.wikipedia.org/wiki/…

— Stephan Kolassa,

Sì, è quello che ho provato, ma forse ho trovato una risposta qui: mathstatica.com/SumBinomialPoisson Funzione ipergeometrica confluente di Kummer..hugh !

— Matteo Fasiolo,

Ho ritoccato il tag di compiti a casa in base al suo utilizzo su questo sito . Saluti. :-)

— cardinale il

Romanzo significa nuovo (non conosciuto o pubblicato prima). Inoltre, non sono d'accordo sul fatto che l'uso di metodi noti per risolvere nuovi problemi renda i compiti - lo stesso si può dire per la maggior parte degli articoli di riviste che pubblicano risultati sulle distribuzioni.

— lupi

Come in molti altri casi nelle statistiche in cui appare una funzione ipergeometrica con argomenti integrali, se lo si desidera è una notazione abbreviata per la somma implicita (finita) nella convoluzione. Il vantaggio di una tale espressione è che ci sono una miriade di modi per manipolarla in forme più semplici e spesso può essere valutata senza effettivamente eseguire la somma.

— whuber

Risposte:

Si finirà con due diverse formule per , una per e una per . Il modo più semplice per risolvere questo problema è calcolare il prodotto di e . Quindi, $p_{X_1+X_2}(k)$ $0 \leq k < n$ $k \geq n$ $\sum_{i=0}^n p_{X_1}(i)z^k$ $\sum_{j=0}^{\infty}p_{X_2}(j)z^j$ è il coefficiente dinel prodotto. Non è possibile alcuna semplificazione delle somme. $p_{X_1+X_2}(k)$ $z^k$

— Dilip Sarwate
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P (X_{1} + X_{2} = k) = \sum_{x_{1} = 0}^{min (n, k)} (\binom{n}{x_{1}}) p^{x_{1}} (1 - p)^{n - x_{1}} e^{- λ} \frac{λ^{k - x_{1}}}{(k - x_{1})!} = \frac{{(1 - p)}^{n} e^{- λ} λ^{k}}{Γ (k + 1)}_{2} F_{0} (- k, - n;; - \frac{p}{(p - 1) λ})

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(X_1+X_2=k)= \sum_{x_1=0}^{\min(n,k)} \binom{n}{x_1} p^{x_1}(1-p)^{n-x_1} e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k-x_1}}{(k-x_1)!}= {\frac { \left( 1-p \right) ^{n}{{\rm e}^{-\lambda}}{\lambda}^{k}}{ \Gamma \left( k+1 \right) } {\mbox{$_2$F$_0$}(-k,-n;\,\ ;\,-{\frac {p}{ \left( p-1 \right) \lambda}})} }$

— kjetil b halvorsen
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Dilip Sarwate ha dichiarato 7 anni fa che non è possibile alcuna semplificazione, sebbene ciò sia stato contestato nei commenti. Tuttavia, ritengo utile notare che anche senza alcuna semplificazione il calcolo è abbastanza semplice in qualsiasi foglio di calcolo o linguaggio di programmazione.

Ecco un'implementazione in R:

# example parameters
n <- 10
p <- .3
lambda <- 5

# probability for just a single value
x <- 10  # example value
sum(dbinom(0:x, n, p) * dpois(x:0, lambda))

# probability function for all values
x0  <- 0:30   # 0 to the maximum value of interest
x   <- outer(x0, x0, "+")
db  <- dbinom(x0, n, p)
dp  <- dpois(x0, lambda)
dbp <- outer(db, dp)
aggregate(as.vector(dbp), by=list(as.vector(x)), sum)[1:(max(x0)+1),]

— Pere
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Dilip non ha dimostrato che non è possibile semplificare le somme: ha affermato una simile affermazione (e l'asserzione non sembra essere corretta). Se si seguono i collegamenti forniti dall'OP, viene fornita una soluzione in termini di funzioni ipergeometriche confluenti di Kummer.

— Lupi,

@wolfies - Sarebbe un punto molto interessante in una nuova risposta a questa vecchia domanda. Probabilmente più interessante del mio.

— Pere,

Un approccio potenzialmente più veloce per n grande nel binomio e lambda di grandi dimensioni implicherebbe trasformazioni di Fourier veloci (o simili). L'ho usato con successo su una serie di problemi del mondo reale in cui la convoluzione non è algebricamente conveniente, ma sono sufficienti risposte numeriche e dove sono state aggiunte più variate indipendenti.

— Glen_b

n

$n$

λ

$\lambda$ dpoisxxx<-qpois(0:1+c(1,-1)*1e-6, lambda)dpoisxzapsmalln

Infatti. Ho fatto qualcosa di simile con la mia applicazione - uscendo sufficientemente lontano ho dato i quantili richiesti con la precisione necessaria.

— Glen_b