Perché la trasformazione radice quadrata è consigliata per i dati di conteggio?

Si consiglia spesso di prendere la radice quadrata quando si hanno i dati di conteggio. (Per alcuni esempi su CV, vedi la risposta di @ HarveyMotulsky qui , o la risposta di @ whuber qui .) D'altra parte, quando si adatta un modello lineare generalizzato con una variabile di risposta distribuita come Poisson, il registro è il collegamento canonico . È un po 'come prendere una trasformazione del registro dei dati di risposta (anche se più precisamente sta prendendo una trasformazione del registro di , il parametro che regola la distribuzione della risposta). Quindi, c'è una certa tensione tra questi due. $\lambda$

• Come conciliare questa (apparente) discrepanza?
• Perché la radice quadrata sarebbe migliore del logaritmo?

La radice quadrata è approssimativamente stabilizzante alla varianza per il Poisson . Esistono diverse varianti sulla radice quadrata che migliorano le proprietà, come l' aggiunta di$\frac{3}{8}$ prima di prendere la radice quadrata o Freeman-Tukey ( - anche se spesso viene adattato anche alla media).$\sqrt{X}+\sqrt{X+1}$

La trasformazione della radice quadrata migliora in qualche modo la simmetria, sebbene non così come il potere fa [1]:$\frac{2}{3}$

Se vuoi particolarmente vicino alla normalità (fintanto che il parametro di Poisson non è veramente piccolo) e non ti interessa / puoi adattarti all'eteroscedasticità, prova la potenza di .$\frac{2}{3}$

Il collegamento canonico non è generalmente una trasformazione particolarmente buona per i dati di Poisson ; log zero è un problema particolare (un altro è l'eteroschedasticità; puoi anche ottenere l'asimmetria di sinistra anche quando non hai 0). Se i valori più piccoli non sono troppo vicini a 0, può essere utile per linearizzare la media. È una buona "trasformazione" per la media condizionale della popolazione di un Poisson in numerosi contesti, ma non sempre dei dati di Poisson. Tuttavia, se si desidera trasformare, una strategia comune è quella di aggiungere una costante che evita il problema . In tal caso dovremmo considerare quale costante aggiungere. Senza allontanarsi troppo dalla domanda, valori di compresi tra$y^*=\log(y+c)$$0$$c$$0.4$e funzionano molto bene (ad es. in relazione alla distorsione nella stima della pendenza) attraverso un intervallo di valori . Di solito uso dato che è semplice, con valori intorno a spesso vanno leggermente meglio.$0.5$$\mu$$\frac12$$0.43$

Per quanto riguarda il motivo per cui le persone scelgono una trasformazione piuttosto che un'altra (o nessuna) - è davvero una questione di cosa stanno facendo per raggiungere.

[1]: Trame modellate secondo le trame di Henrik Bengtsson nel suo volantino "Modelli lineari generalizzati e residui trasformati" vedere qui (vedere la prima diapositiva a pag. 4). Ho aggiunto un po 'di jitter e ho omesso le linee.