Densità di robot che eseguono camminate casuali in un grafico geometrico casuale infinito

Considera un grafico geometrico casuale infinito in cui le posizioni dei nodi seguono un processo di punto di Poisson con densità e gli spigoli sono posizionati tra i nodi più vicini di . Pertanto, la lunghezza dei bordi segue il seguente PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

Nel grafico sopra, considera i nodi all'interno del cerchio di raggio centrato sull'origine. Supponiamo, al momento , posizioniamo un piccolo robot all'interno di ciascuno dei nodi menzionati. Cioè, la densità dei robot sul piano è data da: $r$ $t=0$

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$ dove è la distanza dall'origine. La figura seguente mostra un esempio del posizionamento iniziale dei robot.

l

$l$

esempio

Ad ogni passo, i robot vanno casualmente a uno dei vicini.

Ora, la mia domanda è questa: qual è la funzione di densità dei robot in ? È possibile calcolare la funzione di densità quando ? $t>0$ $t \rightarrow \infty$

Scusate ragazzi, non sono affatto un matematico. Per favore fatemi sapere se qualcosa non è chiaro.

— Elio
fonte

Cerca i libri di Wolfgang Woess come editore o autore. Una raccolta recente: passeggiate, confini e spettri casuali. Birkhauser, 2011. Dal 2000 (Cambridge Univ.Press): passeggiate casuali su grafici e gruppi infiniti.

— Deer Hunter,

Grazie Hunter. Ho dato una rapida occhiata al suo libro del 2011 ma non sono riuscito a trovare nulla di correlato. Non ho accesso a quello del 2000 in questo momento, ma lo cercherò una volta trovato. Per favore fatemi sapere se ricordate qualcosa di più specifico dai libri.

— Elio

Ecco un inizio.

Lascia che sia il raggio della palla che stai considerando. $r = d/2$

Per prima cosa, leggi su passeggiate a caso: http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk . Supponi di avere un solo robot e supponi che la tua camminata casuale avvenga su un reticolo bidimensionale. Per piccole , questo è facile da calcolare con la moltiplicazione della matrice. Sai che ci sono solo punti possibili nel reticolo su cui puoi calpestare o atterrare dopo passi. Sia la matrice di adiacenza di questi vertici. Lasciate il vettore di tutti s ad eccezione di un nel ° posto. Supponiamo che la prima riga (e colonna) di $t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ corrisponde all'origine. Quindi, la probabilità che tu sia al vertice dopo passi è (dove il primo significa trasporre, e è elevato alla esima potenza). Sono abbastanza sicuro che dovresti essere in grado di risolverlo esplicitamente. Puoi usare il fatto che tutto alla stessa distanza dall'origine nella norma dovrebbe avere la stessa densità. $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

Dopo quel riscaldamento, passiamo alla domanda originale. Dopo passi, devi solo considerare il grafico finito che si trova all'interno della sfera del raggio intorno all'origine (ovunque altro ha probabilità di essere raggiungibile dopo solo $t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ passi). Prova a creare la matrice di adiacenza di quel grafico e lavoraci allo stesso modo del caso reticolare: non so come farlo, ma immagino che ci sia della teoria di Markov là fuori per aiutarti. Una cosa che puoi trarre vantaggio da noi è il fatto che sai che questa distribuzione deve essere simmetrica attorno all'origine, in particolare la densità è solo una funzione della distanza dall'origine. Questo dovrebbe rendere le cose più facili, quindi tutto ciò che devi considerare è la probabilità che tu sia a distanza dall'origine dopo passi. Una volta risolto questo problema, chiama la tua densità nella posizione dopo passi . Nota che sarà una funzione di $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ . Sia una variabile casuale campionata da questa distribuzione. $X$

Ora devi anche considerare di iniziare con più robot. Supponendo che più robot possano avere lo stesso vertice, questo non lo rende molto più difficile del caso di un robot. I robot possono iniziare uniformemente sul cerchio, chiamare la variabile casuale che viene campionato uniformemente su questo cerchio . Ci sarà un numero di robot di Poisson con cui inizi, lascia che sia una variabile casuale campionata da questa distribuzione di Poisson. Quindi, la densità si ottiene da più robot è solo . $U$ $M$ $MU + X$

Credo che questo sia un ragionevole inizio alla soluzione, tranne che non ho definire completamente la distribuzione di . Buona fortuna e bella domanda. $X$

— user1448319
fonte

Potresti chiarire come hai ottenuto il numero totale di possibili posizioni occupate dopo passi su un reticolo regolare? Ad esempio, collegare , et non fornisce risposte ragionevoli. La tua risposta non dovrebbe essere ?

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

— cardinale il

oh, buona cattura. non dovrebbe essere , dovrebbe essere . è l'origine, sono gli assi, sono le 4 matrici triangolari. ad esempio, per , e e le altre 3 direzioni, e e gli altri quattro quadranti.

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

— user1448319

Come sarai in dopo due passaggi? (Forse non capisco la camminata che stai descrivendo. Se penso alla "solita" camminata casuale su , cioè uniforme nelle quattro direzioni cardinali, allora, a meno che non mi sbagli, la risposta nel mio primo commento dovrebbe essere corretto.)

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

— cardinale

Non è possibile terminare su dopo due passaggi a partire da . Ma PUOI attraversare dopo aver fatto due passi. DEVI prendere in considerazione tutti i punti che sono raggiungibili in 2 passaggi per costruire come descritto sopra.

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

— user1448319

È vero, ma ho preso la frase per significare ciò che diceva: sai che ci sono solo possibili posti che puoi atterrare sul reticolo dopo passi. $n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$ :-) Forse una modifica aiuterebbe a chiarire. Saluti.

— cardinale il