somma delle variabili aleatorie chi-quadrate non centrali

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Devo trovare la distribuzione della variabile casuale

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ dove

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ e tutti gli

X_{i}

$X_i$ sono indipendenti. So che è possibile prima trovare il prodotto di tutte le funzioni generatrici di momenti per

X_{i}

$X_i$ , e poi tornare indietro per ottenere la distribuzione di

Y

$Y$ Tuttavia, mi chiedo se esiste una forma generale per

Y

$Y$ come il caso gaussiano: sappiamo che la somma di gaussiano indipendente è ancora un gaussiano, e quindi abbiamo solo bisogno di conoscere la media sommata e la varianza sommata.

Che ne dici di ? Questa condizione costituirà una soluzione generale? $\sigma^2_i=\sigma^2$

— trappola
fonte

1

Guardando il primo paragrafo qui sotto , chiaramente la condizione finale produce un chi-quadrato non centrale scalato (diviso per

(il fattore di scala che estrai in primo piano) e crea

in

). La forma più generale con cui hai iniziato assomiglia a una combinazione lineare o media ponderata in scala, con coefficienti

anziché una semplice somma di quadrati in scala ... e credo che in genere non disporrà della distribuzione richiesta.

σ^{2}

$\sigma^2$

σ_{i} = 1

$\sigma_i=1$

\sum_{i = 1}^{k} (X_{i} / σ_{i})^{2}

$\sum_{i=1}^k (X_i/\sigma_i)^2$

σ_{i}^{2}

$\sigma^2_i$

— Glen_b - Ripristina Monica il

A seconda di cosa ne hai bisogno, in casi specifici potresti essere in grado di eseguire una convoluzione numerica o una simulazione.

— Glen_b -Restate Monica

Questo è generalizzato dalla distribuzione "somma ponderata dei chi-quadrati di tronchi per alimentare". Il mio pacchetto R sadistsfornisce funzioni 'dpqr' approssimative per

; cf github.com/shabbychef/sadists

Y

$Y$

— shabbychef

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Come ha osservato Glen_b nei commenti, se le varianze sono tutte uguali, si ottiene un chi-quadrato non centrale ridimensionato.

In caso contrario, esiste un concetto di distribuzione chi-quadrata generalizzata , ovvero per $x^T A x$ e fissi. In questo caso, si ha il caso particolare della diagonale ( ), e . $x \sim N(\mu, \Sigma)$ $A$ $\Sigma$ $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ $A = I$

C'è stato un po 'di lavoro sul calcolo delle cose con questa distribuzione:

Imhof (1961) e Davies (1980) invertono numericamente la funzione caratteristica.
Sheil e O'Muircheartaigh (1977) scrivono la distribuzione come una somma infinita di variabili centrali chi-quadrate.
Kuonen (1999) fornisce un'approssimazione a sella al pdf / cdf.
Liu, Tang e Zhang (2009) si avvicinano a esso con una distribuzione chi-quadrato non centrale basata sulla corrispondenza cumulativa.

Puoi anche scriverlo come una combinazione lineare di variabili chi-quadrate indipendenti non centrali , nel qual caso: $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$

Castaño-Martínez e López-Blázquez (2005) danno un'espansione Laguerre per il pdf / cdf.

Bausch (2013) fornisce un algoritmo più computazionalmente efficiente per la combinazione lineare di chi-quadrati centrali; il suo lavoro potrebbe essere estendibile a chi-quadrati non centrali, e potresti trovare alcuni suggerimenti interessanti nella relativa sezione di lavoro.

— Dougal
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2

Un confronto tra i metodi di approssimazione si trova in Duchesne et al. 2010. Statistiche computazionali e analisi dei dati, 54, 858–862. Gli autori mantengono il pacchetto R CompQuadForm con implementazioni.

— Caracal

-10

Questo sarà Chi-Square di n grado di libertà.

— Ahmed
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6

Credo che tu abbia trascurato che il

μ_{i}

$\mu_i$ potrebbe essere diverso da zero. I commenti alla domanda e la risposta esistente sono informativi.

— whuber