Esiste una legge che dice che se fai abbastanza prove, accadono cose rare?

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Sto cercando di fare un video sui dadi caricati, e ad un certo punto del video lanciamo circa 200 dadi, prendiamo tutti i sei, tirali di nuovo, prendiamo tutti i sei e tirali per la terza volta. Abbiamo avuto un dado che è uscito 6 tre volte di fila, il che ovviamente non è insolito perché dovrebbe esserci una probabilità 1/216 che ciò accada e abbiamo avuto circa 200 dadi. Quindi, come posso spiegare che non è insolito? Non sembra proprio la Legge dei Grandi Numeri. Voglio dire qualcosa del tipo "Se fai abbastanza test, anche le cose improbabili sono destinate ad accadere", ma il mio partner ha detto che le persone potrebbero mettere in discussione la terminologia "legata a".

Esiste un modo standard per affermare questo concetto?

probability dice law-of-large-numbers

— Cassandra Gelvin
fonte

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it.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

— James

La probabilità p = 1 / n significa sostanzialmente che hai 1 successo per n tiral. Questo è ciò che significa ed è così che viene controllato. Se non vedi 1 esito positivo per n esperimenti, segnalaci una probabilità errata. Ora dici che n è grande. Ma qual è la differenza quando dici anche che puoi fare molti più esperimenti che n? Voglio dire che non hai bisogno di alcuna legge oltre alla definizione di probabilità. Sono più interessato a sapere perché la probabilità di avere successo in n prove non è 1?

— Val

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@Val I tuoi commenti devono essere letti in un modo peculiare per non essere fraintesi! Quando la probabilità di un evento è

, in realtà è probabile che l'evento non verrà osservato in

studi indipendenti. (La probabilità di non osservarlo è vicina a

per

grandi dimensioni ). Quindi sembra che tu abbia torto sulla tua affermazione relativa al controllo delle probabilità rare. Penso che tu sbagli confondendo le probabilità con le frequenze: sicuramente differiscono, sia concettualmente che nella pratica.

1 / n

$1/n$

n

$n$

1 / e \approx 0.37

$1/e\approx 0.37$

n

$n$

— whuber

Il mio successo = la tua osservazione. Non capisco perché hai iniziato a reinterpretare questa affermazione chiaramente chiara e ridefinire tutto. In secondo luogo, anche se ho sempre creduto che la probabilità fosse qualcosa di teorico (calcolato in modo combinatorio nella teoria della probabilità) mentre la frequenza è la sua conferma statistica (cioè sperimentale), la legge dei grandi numeri dice che la frequenza converge alla probabilità di probabilità in un gran numero di esperimenti e non vedo di no motivo per evidenziare la differenza, almeno in questo caso.

— Val

1

Non capisco i tuoi ultimi due commenti. Sto interpretando le parole che usi in quelli che credo siano modi standard. In particolare, sto sottolineando il fatto che la probabilità non è la stessa di una frequenza osservata, ed è ciò che sembra dire la tua prima frase. Quando una probabilità è

, a proposito, allora

non è un "gran numero di esperimenti" in alcun modo: ci saranno grandi deviazioni tra le frequenze osservate e le probabilità sottostanti. Ciò non è correlato ad alcuna considerazione di valori duplicati.

1 / n

$1/n$

n

$n$

— whuber

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Legge di numeri veramente grandi:

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_truly_large_numbers

"con una dimensione del campione abbastanza grande, è probabile che accada qualsiasi cosa scandalosa."

— Emilio M Bumachar
fonte

Penso che sia abbastanza ovvio che questa è la risposta migliore qui, lol.

— Phillip Schmidt,

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Questa è la versione temporale del principio totalitario .

— Ray Koopman,

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Potresti spiegare che anche se un evento ha specificato a priori , la probabilità che si verifichi non è bassa. In effetti, non è così difficile calcolare la probabilità di 3 o più tiri di sei di fila per almeno un dado su 200.

[Per inciso, c'è un bel calcolo approssimativo che puoi usare - se hai prove c'è una probabilità di di un 'successo' (per non troppo piccolo), la probabilità di almeno un 'successo' è di circa . Più in generale, per prove, la probabilità è di circa . Nel tuo caso stai guardando prove per una probabilità di dove e $n$ $1/n$ $n$ $1-1/e$ $kn$ $1-e^{-k}$ $m = kn$ $1/n$ $n=216$ , quindi , dando una probabilità di circa il 60% che vedrete 3 sei di fila, almeno una volta fuori dai 200 gruppi di 3 rotoli. $m=200$ $k = 200/216$

Non so che questo calcolo specifico abbia un nome particolare, ma l'area generale di eventi rari con molte prove è legata alla distribuzione di Poisson. In effetti, la stessa distribuzione di Poisson è talvolta chiamata " la legge degli eventi rari " e talvolta anche " la legge dei piccoli numeri " (con "legge" in questi casi che significa "distribuzione di probabilità").]

-

Tuttavia, se non hai specificato quel particolare evento prima del lancio e hai detto solo dopo ' Ehi, wow, quali sono le possibilità? ", quindi il tuo calcolo delle probabilità è errato, perché ignora tutti gli altri eventi sui quali diresti" Ehi, wow, quali sono le possibilità? '.

Hai specificato l'evento solo dopo averlo osservato, per il quale 1/216 non si applica, anche con un solo dado.

Immagina di avere una carriola piena di piccoli ma distinguibili dadi (forse hanno piccoli numeri di serie) - diciamo che ne ho diecimila. Tiro fuori la carriola piena di dadi:

die #    result
00001      4
00002      1
00003      5
 .         .
 .         .
 .         .
09999      6
10000      6

... e io vado "Ehi! Wow , quali sono le probabilità che io ottenga" 4 "su die # 1 e" 1 "su die # 2 e ... e" 6 "su die # 999 e" 6 " su die # 10000? "

Quella probabilità è o circa. È un evento sorprendentemente raro! Deve succedere qualcosa di straordinario. Fammi riprovare. Li spalgo tutti dentro e inclino di nuovo la carriola. Ancora una volta dico "ehi, wow, quali sono le possibilità ??" eancorauna volta ho scoperto che ho un evento di una rarità così sorprendente che dovrebbe accadere solo una volta nella vita di un universo o qualcosa del genere. Che cosa succede? $\frac{1}{6}^{10000}$ $3.07\times 10^{-7782}$

Semplicemente, non sto facendo altro che cercare di calcolare la probabilità di un evento specificato dopo il fatto come se fosse stato specificato a priori . Se lo fai, ottieni risposte pazze.

— Glen_b - Ripristina Monica
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Sai, stasera mi è successa la cosa più sorprendente. Stavo venendo qui, sulla strada per la lezione, e sono entrato attraverso il parcheggio. E non crederai a quello che è successo. Ho visto un'auto con la targa ARW 357. Riesci a immaginare? Di tutti i milioni di targhe nello stato, qual era la possibilità che avrei visto quella in particolare stasera? Sorprendente! - Richard Feynman .

— Gerrit,

Questo non è ciò che l'OP chiede. Questo è più simile al "principio antrofico" (esiste un termine più generico per quello?) Mentre il termine che l'OP chiede è più simile alla "legge dei numeri veramente grandi"?

— Lie Ryan,

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@LieRyan Se la domanda del PO contiene un errore di ragionamento implicito, al quale non dovrebbe essere applicato un normale calcolo di probabilità, sarebbe sbagliato non segnalarlo chiaramente. In effetti, anche se esiste solo una buona possibilità che il problema esista, dovrebbe essere chiaramente sottolineato. Poiché non vi era alcun indizio che l'evento fosse stato effettivamente specificato prima dell'osservazione, è necessario segnalarlo. Il dettaglio richiesto per comunicare esattamente perché si tratta di un problema richiede più di un paio di frasi. Parlo con la domanda diretta nel mio primo paragrafo, ma poi spiego perché c'è un problema.

— Glen_b -Restate Monica

1

Solo per chiarimenti, era a priori.

— Cassandra Gelvin,

3

Penso che la tua affermazione "Se fai abbastanza test, anche le cose improbabili accadranno", sarebbe meglio espressa come "Se fai abbastanza test, è probabile che accadano anche cose improbabili". "vincolato" è un po 'troppo definito per un problema di probabilità e penso che l'associazione tra improbabile e probabile in questo contesto sia il punto che stai cercando di rimediare.

— Robert Jones
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Non sono d'accordo, "destinato ad accadere" è corretto. A meno che il dado è truccato per evitare l'eventualità, allora sarà accadere. Se ciò non accade, allora non hai fatto abbastanza prove, né per quello che non sono "cose improbabili" ma "cose impossibili".

— Lie Ryan,

Tecnicamente parlando, un evento è "destinato ad accadere" solo se provi un numero infinito di volte; è un asintoto. Probabilità non ha memoria; in teoria potrei lanciare una moneta giusta ogni secondo da ora fino alla morte di calore dell'universo e ottenere solo teste. Nel complesso, è un evento molto improbabile, ma ogni lancio è ancora una possibilità del 50/50, quindi in nessun momento diventa certo che avrò la coda. Allo stesso modo, anche con un numero enorme di prove, quell'evento improbabile è ancora altrettanto improbabile per ogni singola prova - potrebbe non accadere mai.

— anaximander,

1

Naturalmente, ciò presuppone che tu conosca le probabilità dei tuoi eventi. Nel mondo reale, dopo un certo numero di prove devi sottolineare che i tuoi calcoli ti danno una probabilità del 99,999% di vedere l'evento improbabile almeno una volta ormai, e non l'hai ancora visto, quindi forse è meno probabile di quanto pensassi (o forse addirittura impossibile).

— anaximander,

@Anaximander Un'interpretazione più sottile di "destinato ad accadere" che la rende un'affermazione corretta su eventi improbabili è questa: per tutti

0 \leq q < 1

$0\le q\lt 1$ esiste un

n

$n$ per cui la probabilità che si verifichi l'evento

n

$n$ o almeno osservazioni indipendenti sono almeno

q

$q$ . This definition does not need to drag in some undefined or vague sense of "infinite number." In this sense any event of strictly positive probability

ε

$\varepsilon$ is bound to happen eventually: for the proof, just take

n > \log (1 - q) / \log (1 - ε)

$n \gt \log(1-q)/\log(1-\varepsilon)$ ed esegui il calcolo (elementare).

— whuber

1

Penso che ciò di cui hai bisogno sia una legge zero-one. Il più famoso di questi è la Legge Zero-One di Kolmogorov , che afferma che qualsiasi evento nello spazio degli eventi a cui siamo interessati alla fine si verificherà con probabilità 1 o non si verificherà mai con probabilità 1. Vale a dire, non c'è grigio area di eventi che possono accadere.

— owensmartin
fonte

1

I believe Kolmogorov's law applies only to tail events, not to "any event ... we're interested in." You might be able to apply this law to general events to shed light on the question, but some explanation of how to do that would be helpful here.

— whuber

This is a good comment: I think the precise definition of tail event is exactly what we're looking for to solve this. I'll do some research on it.

— owensmartin