Probabilità che una variabile casuale continua assuma un punto fisso

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Sono in una classe di statistiche introduttive in cui la funzione di densità di probabilità per variabili casuali continue è stata definita come . Capisco che l'integrale di ma non posso rettificarlo con la mia intuizione di una variabile casuale continua. Supponiamo che X sia la variabile casuale uguale al numero di minuti dal momento in cui arriva il treno. Come posso calcolare la probabilità che il treno arrivi esattamente tra 5 minuti? Come può questa probabilità essere zero? Non è possibile? Che cosa succede se il treno non arriva esattamente 5 minuti da oggi, come potrebbe verificarsi se avesse probabilità 0? $P\left\{X\in B\right\}=\int_B f\left(x\right)dx$ $\int\limits_a^af(x)dx=0$

Grazie.

— geofflittle
fonte

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In piedi alcune di queste domande in testa è utile. Ad esempio , se la tua intuizione dice che ogni possibile momento deve avere una probabilità strettamente positiva, allora - poiché esiste un insieme numerabile di tempi possibili in qualsiasi intervallo - la tua intuizione implica che la probabilità totale è infinita. Ovviamente quell'intuizione è sbagliata. Una cosa a cui bisogna rinunciare è l'idea che una probabilità pari a zero implichi un'impossibilità: ciò non è vero. Allo stesso modo, una probabilità di uno non implica una certezza.

— whuber

@whuber Questo è ciò che non posso correggere. Se la probabilità che si verifichi un evento è 0, non dovrebbe mai accadere. Ad esempio, se ho un dado a sei facce standard, la probabilità di tirare qualsiasi numero è 0 e quindi sarà non succede mai. Inoltre, come può un evento con probabilità 1 non essere una certezza nell'esperimento successivo? Potresti fornire un esempio?

Z ∖ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

$\mathcal{Z}\setminus\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

— geofflittle,

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Supponiamo di vedere un cerchio in cui viene mostrato un accordo e sembra essere un diametro, che ti spinge a chiederti "qual era la possibilità che un accordo selezionato casualmente non sarebbe stato un diametro?" Quando l'accordo viene ottenuto scegliendo una coppia di punti in modo uniforme e indipendente lungo la circonferenza, la risposta è , ma questo evento non si è verificato. Ciò fornisce (piuttosto forte!) La prova che l'accordo non è stato il risultato del processo casuale che hai postulato. Una lezione offerta da tali esperimenti di pensiero è che le intuizioni basate su spazi di probabilità finiti non sempre generalizzano.

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$1$

— whuber

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Potresti cadere nella trappola di considerare "tra cinque minuti" come un periodo di tempo finito (che avrebbe una probabilità diversa da zero).

"Cinque minuti da ora" in senso variabile continuo è veramente istantaneo.

Immagina che l'arrivo del prossimo treno sia distribuito uniformemente tra le 8:00 e le 8:15. Immaginiamo inoltre di definire l' arrivo di un treno nel momento in cui la parte anteriore del treno attraversa un punto particolare della stazione (forse il punto medio della piattaforma se non esiste un punto di riferimento migliore). Considera la seguente sequenza di probabilità:

a) la probabilità che un treno arrivi tra le 8:05 e le 8:10

b) probabilità che un treno arrivi tra le 8:05 e le 8:06

c) probabilità che un treno arrivi tra le 8:05:00 e le 8:05:01

d) la probabilità che un treno arrivi tra le 8:05:00 e le 8: 05: 00.01 (ovvero nello spazio di un centesimo di secondo

e) la probabilità che un treno arrivi tra le 8:05 e un miliardesimo di secondo dopo

f) la probabilità che un treno arrivi tra le 8:05 e un quadrilione di secondo dopo

... e così via

La probabilità che arrivi esattamente alle 8:05 è il valore limite di una sequenza di probabilità come quella. La probabilità è minore di ogni . $\epsilon>0$

— Glen_b -Restate Monica
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Lo capisco, ma, supponendo che il treno arrivi, arriva ad un certo punto nel tempo. Perché questo limite non può ancora convergere in qualche probabilità?

— geofflittle,

Se lo capisci, come dici, puoi calcolare la probabilità nel modo indicato. Consentitemi di semplificare: immaginate per comodità di calcolo che l'ora esatta in cui "arriva" un treno (comunque lo definiamo, purché sia effettivamente continuo) ad un tempo uniformemente distribuito sull'intervallo (0,1) (a qualunque è una comoda unità di tempo). Qual è la probabilità che il treno arrivi prima del tempo , per qualche all'interno dell'intervallo? Qual è la probabilità che arrivi dopo il tempo ? Qual è la probabilità che arrivi tra e ? ... (ctd)

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x + d x

$x+dx$

— Glen_b -Restinata Monica

(CTD) ... Per dirla 'arriva al momento ' per una variabile continua, significa "Qual è il limite di quell'ultimo probabilità come . Quindi, qual è quel limite? Work it out! Questo è la probabilità a cui converge. Questa funzione è intimamente correlata a ciò che rende continuo un pdf continuo.

x

$x$

d x \to 0 ?

$dx\to 0?$

— Glen_b -Reinstate Monica

Nota inoltre che se l'ultimo limite è tutt'altro che zero, le tue tre probabilità (prima di , dopo e "at" ) non si aggiungeranno a 1.

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— Glen_b -Restate Monica

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Cosa succede se il treno arriva esattamente a 5 minuti da adesso, come potrebbe accadere se avesse probabilità 0?

Una dichiarazione probabilistica non è una dichiarazione sulla possibilità / fattibilità di un evento. Riflette solo il nostro tentativo di quantificare la nostra incertezza sul fatto che ciò accada. Quindi quando un fenomeno è continuo (o è modellato come uno), allora i nostri strumenti e lo stato attuale delle conoscenze non ci permettono di fare una dichiarazione probabilistica su di esso che assume un valore specifico . Possiamo solo fare una simile dichiarazione relativa a un intervallodi valori. Ovviamente il solito trucco qui è discretizzare il supporto, considerare intervalli "piccoli" di valori piuttosto che singoli valori. Poiché le variabili casuali continue offrono grandi vantaggi e flessibilità rispetto alle variabili casuali discrete, si è riscontrato che questo è un prezzo piuttosto piccolo da pagare, forse piccolo quanto gli intervalli che siamo costretti a considerare.

— Alecos Papadopoulos
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Pr (X = a) = 0

$\Pr(X=a)=0$

X

$X$

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Ciao @whuber. Per quanto riguarda la distinzione tra modello e fenomeno, una mappa della terra non è terra, ma può aiutarti a vagare per la terra. È così che penso ai modelli, quando non li tratto come oggetti di puro piacere intellettuale (che sono anche loro). Per quanto riguarda il problema della "probabilità zero", si tratta di un'imperfezione - dopo tutto, non sarebbe bello avere tutti i vantaggi della continuità ed essere in grado di fare una dichiarazione di probabilità su un singolo valore? Ma essere imperfetti non rende ovviamente qualcosa di inapplicabile e, mentre scrivo, questa imperfezione ha dimostrato di avere poca importanza.

— Alecos Papadopoulos,

Supponi implicitamente che la probabilità sia qualcosa di oggettivo "là fuori" nella tua analogia cartografica, ma non lo è. La probabilità ha un significato solo all'interno di un modello. Non vedo "imperfezioni" negli assiomi della probabilità e in effetti si possono fare affermazioni accurate e coerenti sulle probabilità dei singoli valori: spesso sono zero.

— whuber

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@whuber No, non credo, e non capisco dove l'hai visto in quello che ho scritto. Ho detto "la mappa non è la terra", che significa "ciò che è nel modello non esiste nella realtà", quindi come si può dedurre da ciò l'esatto contrario? L '"imperfezione" non si riferisce agli assiomi della probabilità, ma a quali strumenti ci portano a questi assiomi e all'efficacia con cui questi strumenti possono essere utilizzati per modellare, studiare e comprendere il mondo reale. Ed è ovvio che credo che la probabilità sia uno strumento efficace.

— Alecos Papadopoulos,

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Per darti alcune intuizioni per quanto sopra, prova il seguente esperimento (pensato):

Traccia una linea reale attorno allo zero con un righello. Ora prendi un dardo acuto e lascialo cadere casualmente dall'alto sulla linea (supponiamo che colpirai sempre la linea e solo il posizionamento laterale conta per il bene dell'argomento).

Comunque molte volte lasci cadere il dardo in modo casuale sulla linea, non colpirai mai il punto zero. Perché? Pensa a qual è il punto zero, pensa qual è la sua larghezza. E dopo aver riconosciuto che la sua larghezza è 0, pensi ancora di poterlo colpire?

Sarai in grado di raggiungere il punto 1 o -2? O qualsiasi altro punto che scegli sulla linea per quella materia?

Per tornare alla matematica, questa è la differenza tra il mondo fisico e un concetto matematico come i numeri reali (rappresentato dalla linea reale nel mio esempio). La teoria della probabilità ha una definizione della probabilità un po 'più complicata di quella che vedrai nella tua lezione. Per quantificare la probabilità di eventi e qualsiasi combinazione dei loro risultati, è necessaria una misura di probabilità. Sia la misura di Borel e misura di Lebesgue sono definiti per un intervallo [a, b] sulla retta reale come: da questa definizione si può vedere cosa succede con la probabilità se si riduce l'intervallo a un numero (impostazione a = b).

μ ([un', B]) = B - un'

$\mu([a,b])=b-a$

La linea di fondo è quella basata sulla nostra attuale definizione di teoria della probabilità (risalente a Kolmogorov) il fatto che un evento abbia una probabilità 0 non significa che non possa accadere.

E per quanto riguarda il tuo esempio con il treno, se avrai un orologio infinitamente preciso, il tuo treno non arriverà mai esattamente in orario.

— mezzi a significato
fonte

Dici "non colpirai mai il punto zero", ma cosa puoi dire del punto che ho colpito nel mio primo tiro al bersaglio? Lascia che sia il punto che ho colpito. Prima di lanciare il mio dardo, avresti detto "non colpirai mai il punto ", ma l'ho appena colpito. E adesso?

x

$x$

x

$x$

— geofflittle,

Penso che devi distinguere tra la domanda: qual è la probabilità che colpirò qualche punto? Se siamo d'accordo che lanci sempre un dardo e che colpisce sempre da qualche parte lungo la linea, quella probabilità è 1. Inoltre, non sto solo dicendo che non colpirai 0. Sto dicendo che la probabilità che tu colpisca QUALUNQUE punto che scegli PRIMA di lanciare il dardo è 0. In effetti è possibile scegliere qualsiasi set di punti finito e la probabilità sarà comunque 0.

— mezzo per significato

Per quanto riguarda la tua domanda, ottengo il tuo punto, ma porre domande sulle probabilità degli eventi dopo che si sono verificati è insensato. Un'affermazione come P (X = x) si riferisce alla futura realizzazione di una variabile casuale X. Quindi DOPO aver toccato un punto, non dirò nulla al riguardo. (maiuscoletti usati solo per indicare il flusso del tempo, non per gridare ...)

— significano significato

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Una distribuzione di probabilità deve avere un'area di unità. Se la misura è continua, esiste un numero infinito di valori che può assumere (ovvero un numero infinito di valori lungo l'asse x della distribuzione). L'unico modo in cui l'area totale della distribuzione di probabilità può essere finita è che il valore di ciascun numero infinito di valori sia zero. Uno diviso per l'infinito.

Nella "vita reale" non possono esserci misure che assumono un numero infinito di valori (per mezzo di diversi argomenti filosofici che non contano molto qui) quindi nessun valore deve avere una probabilità esattamente pari a zero. Un utile argomento pratico si basa sulla precisione finita delle misurazioni del mondo reale. Se usi un cronometro che misura un decimo di secondo, il treno avrà un decimo di secondo in cui arriverà in "esattamente" cinque minuti.

— Michael Lew
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Il primo paragrafo qui fornisce una vaga intuizione, sebbene i passaggi deduttivi siano errati. Esistono molte distribuzioni che ammettono un numero infinito di valori, ma ogni valore ha probabilità strettamente positive. Il secondo paragrafo potrebbe trarre vantaggio da una riformulazione che sottolinea che ad ogni valore di misurazione è associato un (piccolo) intervallo di possibili valori della quantità di interesse sottostante.

— cardinale

Qual è la differenza tra un valore strettamente positivo (di un valore finito diviso per l'infinito?) E zero in questo contesto?

— Michael Lew,

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Il mio punto, probabilmente mal fatto, è che l'argomento del primo paragrafo si basa sulla falsa premessa che, poiché la variabile casuale può assumere infiniti valori, ogni singolo risultato deve avere probabilità zero. Questo è, ovviamente, errato (Poisson, geometrico, ecc.); il concetto di "infinito" non è abbastanza forte qui, abbiamo bisogno di pluralità .

— cardinale

0

$A$ $A$

Sto scrivendo questo per spero di affrontare qualcos'altro che l'OP ha detto nei commenti:

Dici "non colpirai mai il punto zero", ma cosa puoi dire del punto che ho colpito nel mio primo tiro al bersaglio? Sia 𝑥 il punto che ho colpito. Prima di lanciare il mio dardo, avresti detto "non colpirai mai il punto 𝑥", ma l'ho appena colpito. E adesso?

$(\Omega, A, \mu)$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}$ $\mu$ $\mu(\Omega) = 1$ $([a,b], \text{all half open intervals on $[a,b]$}, \nu)$ $\nu$ $\nu( [c,d) ) = \frac{1}{d - c}$ $x \in [a,b]$ $\mathcal{F} = \{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0}$ $A$ $\mathcal{F}_t \subseteq \mathcal{F}_s$ $t < s$

F_{t} = {X \in [un', B] : colpo di dardo X al momento t^{'} < t} .

$\mathcal{F}_t = \{x \in [a,b]: \text{dart hit $x$ at time $t' < t$} \}.$ $\mathcal{F}_1$

Ω .

$\Omega.$

ν ([c, d]) = (d - c) / (b - a) .

$\nu([c,d])=(d-c)/(b-a).$ A un livello più fondamentale, non è chiaro il motivo per cui è necessario invocare il meccanismo dei processi stocastici al fine di discutere una variabile casuale che modella il tempo di un singolo evento, né è evidente che ciò fornisca informazioni.

— whuber